Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 26

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Abbildungsfolgen
Eine (gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion

Wir haben das letzte Mal gesehen, dass die Exponentialreihe für jedes konvergiert. Für jedes stellt also die Polynomfunktion

eine „approximierende Funktion“ für die Exponentialfunktion dar. Dabei ist allerdings die Güte der Approximation abhängig von (bei fixiertem ). In dieser Vorlesung werden verschiedene Konzepte vorstellen, wie man eine Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenfolge auffassen kann. Eine unmittelbare Anwendung wird sein, dass die Exponentialfunktion stetig ist.


Definition  

Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und

() eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

eine sogenannte Grenzabbildung (oder Grenzfunktion) definiert. Selbst wenn sämtliche Funktionen stetig sind, muss diese Grenzabbildung nicht stetig sein. Dazu braucht man einen stärkeren Konvergenzbegriff.


Definition  

Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und

() eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung

derart gibt, dass es zu jedem ein gibt mit


Beispiel  

Es sei und

Für jedes , , konvergiert die Folge gegen und für liegt die konstante Folge zum Wert vor. Die Grenzfunktion ist also

Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle stetig sind.




Lemma  

Es seien und

metrische Räume und es sei

eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung konvergiert.

Dann ist stetig.

Beweis  

Sei und vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein mit für alle und alle . Wegen der Stetigkeit von in gibt es ein mit für alle mit . Für diese gilt somit



Das Konvergenzkriterium von Weierstraß

Definition  

Es sei eine Menge und

eine Funktion. Dann nennt man

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von . Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .

Die folgende Aussage heißt das Konvergenzkriterium von Weierstraß. Es geht darin um Funktionenfolgen , die als Partialsummen von Funktionen gegeben sind, wie dies auch bei Potenzreihen der Fall ist.



Satz  

Es sei eine Menge und sei

eine Funktionenfolge mit

Dann konvergiert die Reihe (also die Funktionenfolge ) gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion

Beweis  

Sei . Wegen ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe punktweise absolut konvergiert.
Wir setzen und

Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert. Dazu sei vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein mit

für alle . Damit haben wir für und jedes insgesamt die Abschätzung





Konvergenz von Potenzreihen

Es seien , komplexe Zahlen und . Wir betrachten die Funktionenfolge mit

Für jedes ist dies eine Potenzreihe in . Im Folgenden werden wir auch die Funktionenreihe mit variablem als Potenzreihe bezeichnen. Dabei heißt der Entwicklungspunkt der Potenzreihe. Im Allgemeinen konvergiert diese Funktionenreihe weder punktweise auf ganz noch gleichmäßig. Wir werden aber sehen, dass häufig auf geeigneten Teilmengen gleichmäßige Konvergenz vorliegt.



Lemma  

Es sei eine Folge komplexer Zahlen und . Die Potenzreihe

sei für eine komplexe Zahl , , konvergent.

Dann ist für jeden reellen Radius  mit die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.

Beweis  

Wir werden Satz 26.6 auf anwenden. Wegen der Konvergenz für sind die Summanden nach Lemma 24.4 eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein mit

für alle . Daher gelten für jedes die Abschätzungen

Dabei ist nach Voraussetzung . Daher liegen rechts die Summanden einer nach Satz 24.11 konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.



Definition  

Für eine Potenzreihe

heißt

der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder .

Jede Potenzreihe hat also grundsätzlich das gleiche Konvergenzverhalten: Es gibt eine Kreischeibe (die eben durch den Konvergenzradius bestimmt ist, wobei die Extremfälle und erlaubt sind) um den Entwicklungspunkt, in deren Innerem die Potenzreihe konvergiert und so, dass sie außerhalb davon in keinem Punkt konvergiert. Nur auf dem Rand der Kreisscheibe kann alles mögliche passieren. Der Fall ist nicht sehr interessant. Bei positivem Konvergenzradius (einschließlich dem Fall ) sagt man auch, dass die Potenzreihe konvergiert.



Korollar  

Es sei

eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius .

Dann stellt die Potenzreihe auf der offenen Kreisscheibe eine stetige Funktion dar.

Beweis  

Jeder Punkt liegt im Innern einer abgeschlossenen Kreisscheibe mit . Auf dieser abgeschlossenen Kreisscheibe ist die Potenzreihe nach Lemma 26.7 gleichmäßig konvergent, daher ist nach Lemma 26.4 die Grenzfunktion stetig.




Korollar  

Die Exponentialreihe und die trigonometrischen Reihen Sinus und Kosinus

besitzen einen unendlichen Konvergenzradius, und die komplexe Exponentialfunktion, die komplexe Sinusfunktion und die komplexe Kosinusfunktion sind stetig.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 25.6 und Korollar 26.9.




Korollar  

Für die (durch die Exponentialreihe definierte) reelle Exponentialfunktion

gilt

Beweis  

Dies folgt aus Satz 25.8, aus Korollar 26.10 und aus Aufgabe *****.


Die reelle Zahl stimmt mit der als eingeführten eulerschen Zahl überein, was wir aber noch nicht bewiesen haben. Aufgrund dieses Sachverhaltes und der vorstehenden Aussage schreiben wir häufig , und zwar auch für komplexe Argumente.



Rechenregeln für Potenzreihen



Satz  

Es sei

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius und sei .

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf übereinstimmen.

Die Koeffizienten von sind

und insbesondere ist

Beweis  

Zur Notationsvereinfachung sei , und . Wir betrachten die Familie

 Wir zeigen zuerst, dass diese Familie

summierbar ist. Dies folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe *****)

und daraus, dass wegen gemäß Lemma 26.7 die rechte Seite für beliebiges beschränkt ist.
Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des großen Umordnungssatzes die Gleichungen




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