Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 17

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Logarithmen



Satz  

Die reelle Exponentialfunktion

ist stetig und stiftet eine Bijektion zwischen und .

Beweis  

Die Stetigkeit folgt aus Korollar 16.10. Nach Korollar 15.8  (4) liegt das Bild in und ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall. Die Unbeschränktheit des Bildes folgt aus Korollar 15.8  (3), woraus wegen Korollar 15.8  (2), folgt, dass auch beliebig kleine positive reelle Zahlen zum Bild gehören. Daher ist das Bild gleich . Die Injektivität ergibt sich aus Korollar 15.8  (6).



Definition  

Der natürliche Logarithmus

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.



Satz  

Der natürliche Logarithmus

ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen und stiftet. Dabei gilt

für alle .

Beweis  

Dies folgt aus Satz 17.1, Satz 13.5, Satz 15.7 und Korollar 15.8.

Die Exponentialfunktionen für verschiedene Basen

Definition  

Zu einer positiven reellen Zahl definiert man die Exponentialfunktion zur Basis von als

Aufgabe 17.1 zeigt, dass für reelle Argumente diese Definition mit der aus der 14ten Vorlesung übereinstimmt.



Satz

Für die Exponentialfunktionen

zur Basis gelten die folgenden Rechenregeln (dabei seien und , bei (4) sei zusätzlich ).

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .

Beweis

Siehe Aufgabe 17.2.



Definition  

Zu einer positiven reellen Zahl wird der Logarithmus zur Basis von durch

definiert.

Logarithmen zu verschiedenen Basen



Satz

Die Logarithmen zur Basis erfüllen die folgenden Rechenregeln.

  1. Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
  2. Es gilt .
  3. Es gilt für .
  4. Es gilt

Beweis

Siehe Aufgabe 17.3.




Summierbarkeit

Bei einer Reihe sind die aufzusummierenden Glieder durch die natürlichen Zahlen geordnet. Häufig kommt es vor, dass diese Ordnung verändert wird. Dafür ist es sinnvoll, einen Summationsbegriff zu besitzen, der unabhängig von jeder Ordnung der Indexmenge ist. Wir werden diese Theorie nicht systematisch entwickeln, sondern nur den großen Umordnungssatz beweisen, den wir sogleich für das Entwickeln einer Potenzreihen in einem neuen Entwicklungspunkt benötigen. Die Familie sei als  , , gegeben. Für jede endliche Teilmenge kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen

Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen Bezug nehmen.


Definition  

Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Teilmengen mit die Beziehung

gilt. Dabei ist . Im summierbaren Fall heißt die Summe der Familie.


Definition  

Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem eine endliche Teilmenge derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge mit die Beziehung

gilt. Dabei ist .



Lemma  

Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|komplexen Zahlen]].

Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.

Beweis  

Sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe , und sei vorgegeben. Zu gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Mengen mit die Abschätzung gilt. Für jede zu [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|disjunkte]] endliche Teilmenge gilt dann

so dass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Sei nun  , , eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für jede endliche Teilmenge mit die Abschätzung gilt. Wir können annehmen, dass für alle gilt. Wir setzen

Für gilt

da die Menge disjunkt zu ist. Daher ist eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von konvergent gegen ein .
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe . Sei dazu ein vorgegeben. Es gibt mit . Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben . Für jedes endliche schreiben wir  mit . Damit gelten die Abschätzungen



Korollar

Es sei  , , eine summierbare Familie komplexer Zahlen und eine Teilmenge.

Dann ist auch  , , summierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe 17.7.



Der große Umordnungssatz



Satz  

Es sei , , eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe . Es sei eine weitere Indexmenge und zu jedem sei eine Teilmenge gegeben mit und für .[1]

Dann sind die Teilfamilien , , summierbar und für ihre Summen gilt, dass die Familie , , summierbar ist mit

Beweis  

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Korollar 17.11. Es sei vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge mit

für alle endlichen Teilmengen  mit . Es gibt eine endliche Teilmenge derart, dass

ist. Wir behaupten, dass dieses für die Familie  , , die Summationseigenschaft für erfüllt. Sei dazu  mit endlich und . Da die Familien  , , summierbar sind mit den Summen , gibt es für jedes ein endliches mit

für alle endlichen  mit . Wir wählen nun für jedes ein solches so, dass zusätzlich gilt. Dann ist und daher . Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen




Der Entwicklungssatz für Potenzreihen



Satz  

Es sei

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius und sei .

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf übereinstimmen.

Die Koeffizienten von sind

und insbesondere ist

Beweis  

Zur Notationsvereinfachung sei , und . Wir betrachten die Familie

 Wir zeigen zuerst, dass diese Familie

[[{{:MDLUL/MDLUL/ ()|opt=Ziel}}|]] ist. Dies folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe 17.9)

und daraus, dass wegen gemäß Lemma 16.7 die rechte Seite für beliebiges beschränkt ist.
Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des großen Umordnungssatzes die Gleichungen




Fußnoten
  1. D.h. die bilden eine disjunkte Vereinigung von .


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