Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Anhang B

Lineare Abbildungen

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$

mit

$f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

Beweis

Da ${}f(v_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W,$

indem wir jeden Vektor ${}v\in V$ mit der gegebenen Basis als

${}v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,$

schreiben und

${}f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft ${}f(v_{i})=w_{i}$ ist dabei klar.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}$ und ${}v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe *****.

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Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow &\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Beweis

Für jedes Element ${}u\in Q$ gibt es mindestens ein ${}v\in V$ mit ${}\psi (v)=u$. Wegen der Kommutativität muss ${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (v)$ gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also ${}v,v'\in V$ zwei Urbilder von ${}u$. Dann ist

${}v'-v\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

und daher ist ${}\varphi (v)=\varphi (v')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien ${}u,u'\in Q$ und seien ${}v,v'\in V$ Urbilder davon. Dann ist ${}v+v'$ ein Urbild von ${}u+u'$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(u+u')=\varphi (v+v')=\varphi (v)+\varphi (v')={\tilde {\varphi }}(u)+{\tilde {\varphi }}(u')\,.$

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist mit der Addition verträglich.
Es sei ${}u\in Q$ mit einem Urbild ${}v\in V$ und sei ${}\lambda \in K$. Dann ist ${}\lambda v$ ein Urbild von ${}\lambda u$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,$

also ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.

$\Box$

Lineare Gleichungssysteme

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$.

Dann führen die folgenden Manipulationen an diesem Gleichungssystem zu einem äquivalenten Gleichungssystem.

1. Das Vertauschen von zwei Gleichungen.
2. Die Multiplikation einer Gleichung mit einem Skalar ${}s\neq 0$.
3. Das einfache Weglassen einer Gleichung, die doppelt vorkommt.
4. Das Verdoppeln einer Gleichung (im Sinne von eine Gleichung zweimal hinschreiben).
5. Das Weglassen oder Hinzufügen einer Nullzeile (einer Nullgleichung).
6. Das Ersetzen einer Gleichung ${}H$ durch diejenige Gleichung, die entsteht, wenn man zu ${}H$ eine andere Gleichung ${}G$ des Systems addiert.

Beweis

Die meisten Aussagen sind direkt klar. (2) ergibt sich einfach daraus, dass wenn

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\xi _{i}=c\,$

gilt, dass dann auch

${}\sum _{i=1}^{n}(sa_{i})\xi _{i}=sc\,$

für jedes ${}s\in K$ gilt. Bei ${}s\neq 0$ kann man diesen Übergang durch Multiplikation mit ${}s^{-1}$ rückgängig machen.

(6). Es sei ${}G$ die Gleichung

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=c\,$

und ${}H$ die Gleichung

${}\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}=d\,.$

Wenn ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ die beiden Gleichungen erfüllt, so erfüllt es auch die Gleichung ${}H'=G+H$. Und wenn das Tupel die beiden Gleichungen ${}G$ und ${}H'$ erfüllt, so auch die Gleichung ${}G$ und ${}H=H'-G$.

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Elementarmatrizen

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über ${}K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an ${}M$ elementare Zeilenumformungen.

1. Vertauschung von zwei Zeilen.
2. Multiplikation einer Zeile mit ${}s\neq 0$.
3. Addition des ${}a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Fakt ***** gezeigt wurde.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über ${}K$.

Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten

$j_{1},\,j_{2},\ldots ,j_{n}$

und ein ${}r\leq n$ derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt

$s_{j_{k}}={\begin{pmatrix}b_{1,j_{k}}\\\vdots \\b_{k,j_{k}}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}{\text{ mit }}b_{k,j_{k}}\neq 0{\text{ für }}k\leq r$

und

$s_{j_{k}}={\begin{pmatrix}b_{1,j_{k}}\\\vdots \\b_{r,j_{k}}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}{\text{ für }}k>r$

besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt

${\begin{pmatrix}d_{11}&*&\cdots &*&*&\cdots &*\\0&d_{22}&\cdots &*&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &d_{rr}&*&\cdots &*\\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

mit ${}d_{ii}\neq 0$ bringen.

Beweis

Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen wie beim Eliminationsverfahren, siehe Fakt *****.

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Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$- Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

1. ${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
2. ${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
3. ${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.

Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.

$V_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$

$S_{k}(s)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\cdots &0&s&0&\cdots &0\\0&\cdots &\cdots &0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$

$A_{ij}(a)={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &1&\cdots &a&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\ddots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Dann hat die Multiplikation mit den ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Beweis

Siehe Aufgabe *****.

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