Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Anhang B

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Lineare Abbildungen



Satz  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei , , eine Basis von und es seien , , Elemente in .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

mit

Beweis  

Da sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

erfüllt, und jeder Vektor sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Basis als

schreiben und

ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren und gilt


Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe *****.




Satz  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei eine lineare Abbildung und eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

ist.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

derart, dass ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

ist kommutativ.

Beweis  

Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität muss gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Seien also zwei Urbilder von . Dann ist

und daher ist . Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Seien und seien Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist

D.h. ist mit der Addition verträglich.
Sei mit einem Urbild und sei . Dann ist ein Urbild von und daher ist

also ist auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.




Lineare Gleichungssysteme



Lemma  

Es sei ein Körper und

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über .

Dann führen die folgenden Manipulationen an diesem Gleichungssystem zu einem äquivalenten Gleichungssystem.

  1. Das Vertauschen von zwei Gleichungen.
  2. Die Multiplikation einer Gleichung mit einem Skalar .
  3. Das einfache Weglassen einer Gleichung, die doppelt vorkommt.
  4. Das Verdoppeln einer Gleichung (im Sinne von eine Gleichung zweimal hinschreiben).
  5. Das Weglassen oder Hinzufügen einer Nullzeile (einer Nullgleichung).
  6. Das Ersetzen einer Gleichung durch diejenige Gleichung, die entsteht, wenn man zu eine andere Gleichung des Systems addiert.

Beweis  

Die meisten Aussagen sind direkt klar. (2) ergibt sich einfach daraus, dass wenn

gilt, dass dann auch

für jedes gilt. Bei kann man diesen Übergang durch Multiplikation mit rückgängig machen.

(6). Es sei die Gleichung

und die Gleichung

Wenn ein Tupel die beiden Gleichungen erfüllt, so erfüllt es auch die Gleichung . Und wenn das Tupel die beiden Gleichungen und erfüllt, so auch die Gleichung und .




Elementarmatrizen

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.

  1. Vertauschung von zwei Zeilen.
  2. Multiplikation einer Zeile mit .
  3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in Fakt ***** gezeigt wurde.



Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann gibt es elementare Zeilenumformungen und eine (Neu-)Nummerierung der Spalten

und ein derart, dass in der entstandenen Matrix die Spalten die Gestalt

und

besitzen. Durch elementare Zeilenumformungen und zusätzliche Spaltenvertauschungen kann man also eine Matrix auf die Gestalt

mit bringen.

Beweis  

Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen wie beim Eliminationsverfahren, siehe Fakt *****.



Definition  

Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

  1. .
  2. .
  3. .

Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus.



Lemma

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().

Beweis

Siehe Aufgabe *****.