Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 67

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Linalg parallelogram area.png

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.





Aufgabe

Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.


Aufgabe *

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

im erzeugten Parallelotops.


Aufgabe *

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

im erzeugten Parallelotops.


Aufgabe *

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

gleich oder gleich ist.

(Tipp: Betrachte ).

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass volumentreu, aber keine Isometrie ist.


Aufgabe

Es sei

eine lineare Abbildung und . Zeige die Gleichheit .


Aufgabe

Es sei

ein linearer Endomorphismus, der nicht bijektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß nicht -endlich ist.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass es eine positive reelle Zahl gibt derart, dass das -dimensionale Volumen einer abgeschlossenen Kugel im mit Radius und mit einem beliebigen Mittelpunkt gleich ist.


Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

im erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).


Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

im erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).


Aufgabe *

Berechne das Volumen des von den Vektoren

im erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen des von den Vektoren

im erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren erzeugten „Pseudoparallelogramms“, also von


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

eine lineare Abbildung, die surjektiv, aber nicht injektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß für jede Borelmenge durch

bestimmt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei

die Oberfläche der Einheitskugel. Zeige, dass das Volumen dieser Oberfläche ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Multiplikationsabbildung

flächentreu ist.

(Dabei ist mit dem Borel-Lebesgue-Maß versehen).

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien drei Vektoren gegeben und es sei

das davon erzeugte „Pseudoparallelogramm“. Zeige, dass der Flächeninhalt von gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Parallelogramme ist, die von je zwei der beteiligten Vektoren aufgespannt werden.



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