Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 67

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren ${}(x_{1},y_{1})$ und ${}(x_{2},y_{2})$ die Determinante der durch die Vektoren definierten ${}2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.

${}\,$

Aufgabe *

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Aufgabe *

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Aufgabe *

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\7\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Aufgabe *

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

(Tipp: Betrachte ${}{L^{\text{tr}}}\circ L$).

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

derart, dass ${}\varphi$ volumentreu, aber keine Isometrie ist.

Aufgabe

Es sei

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Abbildung und ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zeige die Gleichheit ${}L_{*}(c\lambda ^{n})=c(L_{*}\lambda ^{n})$.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein linearer Endomorphismus, der nicht bijektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß ${}\varphi _{*}\lambda ^{n}$ nicht ${}\sigma$- endlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass es eine positive reelle Zahl ${}\kappa _{n}$ gibt derart, dass das ${}n$-dimensionale Volumen einer abgeschlossenen Kugel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Radius ${}r$ und mit einem beliebigen Mittelpunkt gleich ${}\kappa _{n}r^{n}$ ist.

Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

$(1,3,5){\text{ und }}(-2,4,1)$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

$v=(2,3,-4){\text{ und }}w=(1,-1,7)$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe *

Berechne das Volumen des von den Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen des von den Vektoren

$(2,1,3,4),(4,0,-1,3){\text{ und }}(5,-2,-2,0)$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren ${}(0,1),\,(2,0),\,(1,3)$ erzeugten „Pseudoparallelogramms“, also von

${}S={\left\{a(0,1)+b(2,0)+c(1,3)\mid a,b,c\in [0,1]\right\}}\,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine lineare Abbildung, die surjektiv, aber nicht injektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{n}$ für jede Borelmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ durch

${}\mu (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\lambda ^{m}(T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\lambda ^{m}(T)>0\,,\end{cases}}\,$

bestimmt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}S={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$ die Oberfläche der Einheitskugel. Zeige, dass das Volumen dieser Oberfläche ${}0$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}u\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {u}\vert =1$. Zeige, dass die Multiplikationsabbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto uz,$

flächentreu ist.

(Dabei ist ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Borel-Lebesgue-Maß versehen).

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien drei Vektoren ${}v_{1},v_{2},v_{3}\in \mathbb {R} ^{2}$ gegeben und es sei

${}S={\left\{av_{1}+bv_{2}+cv_{3}\mid a,b,c\in [0,1]\right\}}\,$

das davon erzeugte „Pseudoparallelogramm“. Zeige, dass der Flächeninhalt von ${}S$ gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Parallelogramme ist, die von je zwei der beteiligten Vektoren aufgespannt werden.