Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 68

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Wir definieren auf eine Topologie, indem wir die Mengen

als Basis der Topologie nehmen. Zeige, dass offen in dieser Topologie ist und die Unterraumtopologie zu dieser Topologie trägt.


Aufgabe

Zeige, dass die Borelmengen auf zu der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie mit den in der Vorlesung direkt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen.


Aufgabe

Zeige, dass mit der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie homöomorph zum abgeschlossenen Intervall ist.


Aufgabe *

Es sei

eine numerische Funktion. Zeige


Aufgabe

Bestimme das Supremum und das Infimum der Funktionenfolge


Aufgabe *

Es sei ein Messraum und eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

messbar ist.


Aufgabe *

Es sei ein Messraum und es sei

() eine Folge von messbaren Funktionen, wobei die -Algebra der Borelmengen trägt. Sei . Zeige, dass die Menge

eine messbare Teilmenge von ist.


Aufgabe

Beschreibe eine beliebige einfache Funktion mit Hilfe von Indikatorfunktionen.


Aufgabe

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder einfach ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Messraum und es seien

messbare Funktionen. Zeige, dass die Menge

messbar ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei -einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder -einfach ist.


Eine Funktion heißt periodisch mit Periode , wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei

eine periodische Funktion mit der Periode .

a) Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist messbar.
  2. Die Einschränkung von auf das Intervall ist messbar.
  3. Die Einschränkung von auf jedes Intervall der Form ist messbar.

b) Zeige, dass diese Äquivalenz für die Stetigkeit nicht gelten muss.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die approximierenden Funktionen für die Funktion

gemäß dem Beweis zu Lemma 68.11.


Aufgabe (6 (1+2+2+1) Punkte)

Es sei

eine Funktion. Zu sei die Funktion durch

definiert.

a) Zeige, dass die -einfach sind.

b) Zeige, dass die Funktionenfolge , , punktweise gegen konvergiert.

c) Zeige, dass diese Funktionenfolge nicht wachsend sein muss.

d) Sind die messbar?



<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)