Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 68

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Wir definieren auf ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ eine Topologie, indem wir die Mengen

$]a,b[\,\,({\text{mit }}a,b\in \mathbb {R} ),\,[-\infty ,a[\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} ){\text{ und }}]a,\infty ]\,\,({\text{mit }}a\in \mathbb {R} )$

als Basis der Topologie nehmen. Zeige, dass ${}\mathbb {R}$ offen in dieser Topologie ist und die Unterraumtopologie zu dieser Topologie trägt.

Aufgabe

Zeige, dass die Borelmengen auf ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ zu der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie mit den in der Vorlesung direkt eingeführten Borel-Mengen übereinstimmen.

Aufgabe

Zeige, dass ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ mit der in Aufgabe 68.1 eingeführten Topologie homöomorph zum abgeschlossenen Intervall ${}[0,1]$ ist.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine numerische Funktion. Zeige

${}\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}\,.$

Aufgabe

Bestimme das Supremum und das Infimum der Funktionenfolge

${}f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}x^{k}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}M$ ein Messraum und ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

${\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},$

messbar ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein Messraum und es sei

$f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von messbaren Funktionen, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}\sigma$- Algebra der Borelmengen trägt. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{x\in X\mid a{\text{ ist ein H}}{\ddot {\rm {a}}}{\text{ufungspunkt der Folge }}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right\}}\,$

eine messbare Teilmenge von ${}X$ ist.

Aufgabe

Beschreibe eine beliebige einfache Funktion mit Hilfe von Indikatorfunktionen.

Aufgabe

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder einfach ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es seien

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare Funktionen. Zeige, dass die Menge

${\left\{x\in M\mid f(x)=g(x)\right\}}$

messbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei ${}\sigma$- einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder ${}\sigma$-einfach ist.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt periodisch mit Periode ${}L>0$, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(x+L)\,$

gilt.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion mit der Periode ${}L>0$.

a) Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}f$ ist messbar.
2. Die Einschränkung von ${}f$ auf das Intervall ${}[0,L[$ ist messbar.
3. Die Einschränkung von ${}f$ auf jedes Intervall der Form ${}[a,a+L[$ ist messbar.

b) Zeige, dass diese Äquivalenz für die Stetigkeit nicht gelten muss.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die approximierenden Funktionen ${}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{5}$ für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

gemäß dem Beweis zu Lemma 68.11.

Aufgabe (6 (1+2+2+1) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei die Funktion ${}f_{n}$ durch

${}f_{n}(x)={\frac {\left\lfloor nf(x)\right\rfloor }{n}}\,$

definiert.

a) Zeige, dass die ${}f_{n}$ ${}\sigma$- einfach sind.

b) Zeige, dass die Funktionenfolge ${}f_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, punktweise gegen ${}f$ konvergiert.

c) Zeige, dass diese Funktionenfolge nicht wachsend sein muss.

d) Sind die ${}f_{n}$ messbar?