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Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 6

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Rechenregeln für Folgen



Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Folge ist konvergent und es gilt
  2. Die Folge ist konvergent und es gilt
  3. Für gilt
  4. Es sei und für alle . Dann ist ebenfalls konvergent mit
  5. Es sei und für alle . Dann ist ebenfalls konvergent mit

(2). Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 5.10 insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher


(4). Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für die Bedingung und damit

Es sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit

Dann gilt für alle die Abschätzung




Wir betrachten die durch

definierte Folge und wollen wissen, ob und gegebenenfalls wogegen sie konvergiert. Man kann Lemma 6.1 nicht unmittelbar anwenden, da weder der Zähler noch der Nenner konvergiert. Allerdings kann man den folgenden Trick anwenden, man schreibt

In dieser Form sind die Zähler- und die Nennerfolge konvergent, und zwar gegen bzw. , und daher konvergiert die Folge gegen .




Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen mit für alle .

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe 6.10.


Daraus folgt insbesondere, dass bei einer konvergenten Folge, für die für jedes Folgenglied gilt, auch der Limes sein muss (die entsprechende Aussage für statt gilt nicht, wie die Folge der Stammbrüche zeigt). Ebenso folgt, dass zu einer Folge , die konvergiert, auch der Grenzwert zu dem abgeschlossenen Intervall gehören muss.

Die folgende Aussage nennt man das Quetschkriterium.


Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte

und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert .

Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .

Beweis

Siehe Aufgabe 6.11.

Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Dann heißt die Folge wachsend, wenn ist für alle , und streng wachsend, wenn ist für alle . Die Folge heißt fallend, wenn ist für alle und streng fallend, wenn ist für alle .

Als gemeinsamen Begriff für wachsende oder fallende Folgen verwendet man die Bezeichnung monotone Folgen.

Man stelle sich nun eine wachsende Folge vor, die aber dennoch (nach oben) beschränkt ist. Muss eine solche Folge konvergieren? Das hängt vom angeordneten Körper ab! Innerhalb der rationalen Zahlen sind beispielsweise die mit dem Heronverfahren konstruierten Folgen fallend (wenn man mit einem zu großen Startwert anfängt) und auch beschränkt (durch jede rationale Zahl, deren Quadrat kleiner als ist), sie besitzen aber im Allgemeinen keinen Limes in . Die reellen Zahlen , denen wir uns jetzt zuwenden, sind gerade dadurch ausgezeichnet, dass darin jede wachsende (fallende), nach oben (unten) beschränkte Folge einen Grenzwert besitzt.



Cauchy-Folgen

Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge (sagen wir zur Berechnung von ) mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in einem beliebigen angeordneten Körper betrachten, in dem existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.


Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt.



Es sei ein angeordneter Körper. Dann ist eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung gilt: Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung gilt.

Eine Cauchy-Folge erfüllt auch die angegebene Bedingung, da man ja setzen kann.
Für die Umkehrung sei vorgegeben. Die Bedingung der Aussage gilt insbesondere für , d.h. es gibt ein derart, dass für jedes die Abschätzung

gilt. Damit gilt aufgrund der Dreiecksungleichung für beliebige die Abschätzung

sodass eine Cauchy-Folge vorliegt.



Es sei ein angeordneter Körper. Dann ist jede konvergente Folge

eine Cauchy-Folge.

Es sei die konvergente Folge mit Grenzwert . Sei gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf an. Daher gibt es ein mit

Für beliebige gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung

  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.



Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.

Dann ist eine Cauchy-Folge.

Es sei eine obere Schranke, also für alle Folgenglieder .  Wir nehmen an, dass keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus Lemma 6.7. Somit gibt es ein derart, dass es für jedes ein mit gibt (wir können die Betragstriche wegen der Monotonie weglassen). Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch ,

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein mit . Die Summe der ersten Differenzen der Teilfolge , , ergibt

  Dies impliziert im Widerspruch zur Voraussetzung, dass eine obere Schranke der Folge ist.




Der Körper der reellen Zahlen

In Bezug auf die reellen Zahlen hört man häufig Existenzaussagen: dort gibt es , in besitzt jede positive Zahl eine Quadratwurzel, eine dritte Wurzel, dort haben Polynome mit negativen und positiven Werten auch Nullstellen, dort gibt es die Zahlen und , in beschreibt jede Dezimalbruchfolge eine Zahl, ... Diese Existenzandeutungen werden im axiomatischen Aufbau der reellen Zahlen ein für alle Mal durch das Vollständigkeitsaxiom fundiert.


Ein angeordneter Körper heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert (also in einen Grenzwert besitzt).


Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen. Er wird mit bezeichnet.

Die reellen Zahlen sind also ein vollständig und archimedisch angeordneter Körper. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle und gibt, die beide für sich genommen vollständig und archimedisch angeordnete Körper sind, so kann man eine (eindeutig bestimmte) bijektive Abbildung von nach angeben, die alle mathematischen Strukturen erhält (sowas nennt man einen Isomorphismus). Man kann auch sagen, dass die reellen Zahlen den größten archimedisch angeordneten Körper bilden ( ist der kleinste).

Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man die Vorstellung einer lückenfreien „kontinuierlichen Zahlengerade“ zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Dedekindschen Schnitte oder die Menge der Cauchy-Folgen in mit einer geeigneten Identifizierung. Darauf werden wir hier verzichten.

Statt von einem vollständig und archimedisch angeordneten Körper werden wir von nun an von den reellen Zahlen sprechen. Als Beweismittel sind aber lediglich die genannten Axiome erlaubt.


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