Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 6
- Übungsaufgaben
Es sei ein angeordneter Körper, es sei eine Nullfolge in und eine beschränkte Folge in . Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.
In den folgenden Aufgaben werden die Aussagen (1), (3) und (5) von
Lemma 6.1
bewiesen.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit
ist.
Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in . Es sei . Zeige, dass die Folge ebenfalls konvergent mit
ist.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Es sei und für alle . Zeige, dass ebenfalls konvergent ist mit
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und Folgen in , wobei gegen konvergiere. Die Differenzenfolge sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls gegen konvergiert.
Für die folgende Aufgabe brauchen wir den Begriff der Polynomfunktion.
Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Polynomfunktion. Es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige durch Induktion über , dass dann auch die durch
definierte Folge konvergiert, und zwar gegen .
Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.
Bestimme den Grenzwert der Folge
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.
Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.
Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.
Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper und es sei eine Nullfolge in . Zeige, dass die Summenfolge
ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.
Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass es eine Teilfolge , , derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem gilt für alle die Abschätzung
Es sei eine nichtnegative reelle Zahl und . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit
gegen konvergiert.
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Folge der Stammbrüche die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- Die Folge ist eine Nullfolge.
- Die Folge ist eine Cauchy-Folge.
- Der Körper ist archimedisch angeordnet.
Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Telmenge, die das Supremum besitze. Zeige, dass es eine Folge in gibt, die gegen konvergiert.
Es sei ein angeordneter Körper und eine wachsende Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ein Supremum besitzt.
Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.
Es sei ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge heißt ein Abschnitt, wenn für alle mit und jedes mit auch ist.
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ein Abschnitt ist.
Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in , der kein Intervall ist.
Zeige, dass in jeder Abschnitt ein Intervall ist.
Es sei ein archimedisch angeordneter vollständiger Körper. Zeige, dass genau dann nichtnegativ ist, wenn eine Quadratwurzel besitzt.
Die folgende Aufgabe setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.
Es sei ein angeordneter Körper und sei
der Vektorraum aller Folgen in (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also
ein - Untervektorraum von ist.
b) Sind die beiden Folgen
linear unabhängig in ?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und seien und Polynome mit . Man bestimme in Abhängigkeit von und , ob die durch
(für hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und sei ein Polynom mit und . Zeige, dass dann die durch
definierte Folge bestimmt gegen divergiert, falls ist, und bestimmt gegen divergiert, falls ist.
Man folgere, dass die Folgenglieder
für hinreichend groß definiert sind und gegen konvergieren.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper derart, dass
für alle gilt. Es seien und Cauchy-Folgen und es sei die Differenzfolge eine Nullfolge. Zeige, dass dann auch eine Cauchy-Folge ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper , die sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Folgenglieder besitzt. Zeige, dass es sich um eine Nullfolge handelt.
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