Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper, es sei eine Nullfolge in und eine beschränkte Folge in . Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.


In den folgenden Aufgaben werden die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 6.1 bewiesen.

Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in . Es sei . Zeige, dass die Folge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Es sei und für alle . Zeige, dass ebenfalls konvergent ist mit


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und Folgen in , wobei gegen konvergiere. Die Differenzenfolge sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls gegen konvergiert.


Für die folgende Aufgabe brauchen wir den Begriff der Polynomfunktion.

Es sei ein Körper und seien . Eine Funktion

mit

heißt Polynomfunktion.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Polynomfunktion. Es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige durch Induktion über , dass dann auch die durch

definierte Folge konvergiert, und zwar gegen .


Aufgabe *

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.


Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.


Aufgabe *

Es sei eine reelle Folge. Es gelte

für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?


Aufgabe

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper und es sei eine Nullfolge in . Zeige, dass die Summenfolge

ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass es eine Teilfolge , , derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe

Es sei eine nichtnegative reelle Zahl und . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

gegen konvergiert.


Aufgabe *

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Folge der Stammbrüche die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Die Folge ist eine Nullfolge.
  2. Die Folge ist eine Cauchy-Folge.
  3. Der Körper ist archimedisch angeordnet.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Telmenge, die das Supremum besitze. Zeige, dass es eine Folge in gibt, die gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und eine wachsende Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ein Supremum besitzt.


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es sei ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge heißt ein Abschnitt, wenn für alle mit und jedes mit auch ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ein Abschnitt ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in , der kein Intervall ist.

Zeige, dass in jeder Abschnitt ein Intervall ist.


Aufgabe

Es sei ein archimedisch angeordneter vollständiger Körper. Zeige, dass genau dann nichtnegativ ist, wenn eine Quadratwurzel besitzt.


Die folgende Aufgabe setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.

Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und sei

der Vektorraum aller Folgen in (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

ein -Untervektorraum von ist.

b) Sind die beiden Folgen

linear unabhängig in ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne den Grenzwert der Folge

für .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und seien und Polynome mit . Man bestimme in Abhängigkeit von und , ob die durch

(für hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und sei ein Polynom mit und . Zeige, dass dann die durch

definierte Folge bestimmt gegen divergiert, falls ist, und bestimmt gegen divergiert, falls ist.

Man folgere, dass die Folgenglieder

für hinreichend groß definiert sind und gegen konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper derart, dass

für alle gilt. Es seien und Cauchy-Folgen und es sei die Differenzfolge eine Nullfolge. Zeige, dass dann auch eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper , die sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Folgenglieder besitzt. Zeige, dass es sich um eine Nullfolge handelt.



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