Kurs:Elementare Algebra/17/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	0	6	0	2	3	3	7	5	2	2	3	4	2	2	2	3	4	2	0	58

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
3. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

4. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
6. Eine aus einer Teilmenge ${}T\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$.

Lösung

1. Ein Element ${}u$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.
2. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

3. Die Abbildung

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

   1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
   2. ${}\varphi (1)=1$
   3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
4. Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

   ${}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$

   mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

5. Die Teilmenge ${}U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
   1. ${}0\in U$.
   2. Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$.
   3. Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$.
6. Die Gerade ${}G$ heißt aus ${}T\subseteq E$ elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte ${}P,Q\in T$ derart gibt, dass ${}G$ die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Ideale in einem euklidischen Bereich.
2. Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
3. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Lösung

1. Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.
2. Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element. Dann teilt die Ordnung von ${}g$ die Gruppenordnung.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Ring.

Lösung

Wir machen eine Doppelinduktion nach ${}r$ und nach ${}s$. D.h. wir beweisen die Aussage für jedes feste ${}r$ durch Induktion nach ${}s$ (innere Induktion) und erhöhen dann in einem eigenen Induktionsdurchgang ${}r$ (äußere Induktion). Bei ${}r=0$ ist nichts zu zeigen, da dann die Summen links und rechts leer sind, also gleich ${}0$. Es sei also ${}r=1$, sodass der linke Faktor einfach eine fixierte Zahl ${}a=a_{1}$ ist. Wir wollen die Aussage in dieser Situation für beliebiges ${}s$ zeigen. Bei ${}s=0,1$ ist die Aussage klar. Es sei die Aussage nun für ein

${}s\geq 2\,$

schon bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}+b_{s+1}\right)}&=a\cdot {\left({\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+b_{s+1}\right)}\\&=a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+ab_{s+1}\\&={\left(\sum _{k=1}^{s}ab_{k}\right)}+ab_{s+1}\\&=\sum _{k=1}^{s+1}ab_{k}\end{aligned}}$

nach dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung.

Es sei die Aussage nun für ein festes ${}r$ und jedes ${}s$ bewiesen. Dann ist wieder mit dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{r+1}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}&={\left({\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}+a_{r+1}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}+a_{r+1}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}+\sum _{k=1}^{s}a_{r+1}b_{k}\\&=\sum _{1\leq i\leq r+1,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{9}-1$ und ${}Q=X^{3}-1$.

Lösung

Division mit Rest liefert

$X^{9}-1={\left(X^{3}-1\right)}{\left(X^{6}+X^{3}+1\right)}+0\,,$

sodass ${}X^{3}-1$ bereits der größte gemeinsame Teiler von ${}P$ und ${}Q$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}999999$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}999999&=9\cdot 111111\\&=3^{2}\cdot 3\cdot 37037\\&=3^{3}\cdot 7\cdot 5291\\&=3^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 481\\&=3^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen.

1. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) eine Quadratzahl?
2. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl?
3. Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben) eine Quadratzahl?

Lösung

1. Das Produkt der Einträge der Hauptdiagonale ist

   $1^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}\cdots 8^{2}\cdot 9^{2},$

   also ein Produkt von Quadratzahlen und damit selbst eine Quadratzahl.

2. Im Produkt der Einträge der Hauptdiagonale kommt der Primfaktor ${}5$ nur als ${}5^{2}$ in der Mitte vor, der Exponent des Primfaktors ${}5$ ist also ${}2$ und kein Vielfaches von ${}3$, wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung kann das Produkt also keine Kubikzahl sein.
3. Das Produkt der Einträge der Nebendiagonale ist

   ${}(1\cdot 9)(2\cdot 8)(3\cdot 7)(4\cdot 6)(5\cdot 5)(6\cdot 4)(7\cdot 3)(8\cdot 2)(9\cdot 1)=(1\cdot 9)^{2}(2\cdot 8)^{2}(3\cdot 7)^{2}(4\cdot 6)^{2}\cdot 5^{2}\,,$

   dies ist also eine Quadratzahl.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von ${}P$. Wenn der Grad von ${}T$ größer als der Grad von ${}P$ ist, so ist ${}Q=0$ und ${}R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ${}\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch ${}\operatorname {grad} \,(TP)=0$, also ist ${}T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da ${}T\neq 0$ und ${}K$ ein Körper ist) ${}Q=P/T$ und ${}R=0$ eine Lösung. Es sei nun ${}\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und ${}T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit ${}a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$. Dann gilt mit ${}H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung

${}{\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}$

Dieses Polynom ${}P'$ hat einen Grad kleiner als ${}n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt ${}Q'$ und ${}R'$ mit

$P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.$

Daraus ergibt sich insgesamt

${}P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,$

sodass also ${}Q=Q'+H$ und ${}R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei ${}P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist ${}T(Q-Q')=R'-R$. Da die Differenz ${}R'-R$ einen Grad kleiner als ${}\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei ${}R=R'$ und ${}Q=Q'$ lösbar.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,$

ein normiertes Polynom über einem Körper ${}K$. Es seien ${}u,v,w$ drei (verschiedene) Zahlen aus ${}K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von ${}P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

erfüllen.

Lösung

Nach Fakt ***** ist eine Zahl ${}u\in K$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}X-u$ ein Linearfaktor von ${}P$ ist. Da ${}u,v,w$ verschieden sind, sind diese drei Zahlen Nullstellen von ${}P$ genau dann, wenn

${}P=(X-u)(X-v)(X-w)\,$

ist. Wenn man dieses Produkt ausrechnet, so erhält man

${}(X-u)(X-v)(X-w)=X^{3}-(u+v+w)X^{2}+(uv+uw+vw)X-uvw\,.$

Dies stimmt mit ${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d$ genau dann überein, wenn es koeffizientenweise damit übereinstimmt, wenn also gleichzeitig

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

gilt. Dies ist das angegebene Gleichungssystem.

Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}3x^{2}+5x+6$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}4y^{2}+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}3{\left(4y^{2}+2y+3\right)}^{2}+5{\left(4y^{2}+2y+3\right)}+6&=3{\left(16y^{4}+4y^{2}+9+16y^{3}+24y^{2}+12y\right)}+20y^{2}+10y+15+6\\&=48y^{4}+12y^{2}+27+48y^{3}+72y^{2}+36y+20y^{2}+10y+15+6\\&=48y^{4}+48y^{3}+104y^{2}+46y+48.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle eine Wertetabelle für die Abbildung

$\mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{3}.$

Ist die Abbildung bijektiv?

Lösung

${}x$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$	${}9$
${}x^{3}$	${}0$	${}1$	${}8$	${}7$	${}4$	${}5$	${}6$	${}3$	${}2$	${}9$

Daraus ist unmittelbar ersichtlich, dass die Abbildung bijektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit ${}p$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Lösung

Es sei ${}x\in R$, ${}x\neq 0$. Wir betrachten die von ${}x$ erzeugte additive Untergruppe von ${}R$. Wegen ${}x\neq 0$ handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt ${}x$ schon ganz ${}R$. Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}nx=1\,.$

Da jeder Ring die natürlichen Zahlen enthält, bedeutet dies, dass ${}x$ eine Einheit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv. Zeige durch Induktion nach ${}i$, dass man die Restfolgenglieder ${}r_{-i}$ im Divisionsalgorithmus direkt durch die Division mit Rest

${}10^{i}a=xb+r_{-i}\,$

erhalten kann.

Lösung

Bei ${}i=0$ fällt dies mit der Definition im Divisionsalgorithmus zusammen. Es sei also die Aussage für ein ${}r_{-i}$ schon bewiesen. Nach dem Divisionsalgorithmus ergibt sich das nächste ${}r_{-i-1}$ über die Division mit Rest

${}10r_{-i}=z_{-i}b+r_{-i-1}\,.$

Wir lösen nach ${}r_{-i-1}$ auf und erhalten unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

${}{\begin{aligned}r_{-i-1}&=10r_{-i}-z_{-i}b\\&=10(10^{i}a-xb)-z_{-i}b\\&=10^{i+1}a-10xb-z_{-i}b\\&=10^{i+1}a-b(10x-z_{-i}).\end{aligned}}$

Umstellen ergibt

${}10^{i+1}a=b(10x-z_{-i})+r_{-i-1}\,,$

was bedeutet, dass der Rest bei der Division von ${}10^{i+1}a$ durch ${}b$ gleich ${}r_{-i-1}$ ist, wie behauptet.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei ${}z={\frac {a}{b}}$ eine rationale Zahl.

a) Zeige, dass es ein normiertes Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ mit

${}P(z)=0\,$

gibt.

b) Zeige, dass es ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${}Q(z)=0\,$

gibt.

Lösung

a) Sei

${}P:=X-{\frac {a}{b}}\,.$

Dieses Polynom ist normiert, es hat rationale Koeffizienten und es ist offenbar

${}P(z)={\frac {a}{b}}-{\frac {a}{b}}=0\,.$

b) Sei

${}Q:=bX-a\,.$

Dieses Polynom besitzt ganzzahlige Koeffizienten und es ist offenbar

${}Q(z)=b\cdot {\frac {a}{b}}-a=a-a=0\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.

Lösung

${}\,$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}&={\frac {1}{10}}-{\frac {4}{15}}{\sqrt {3}}-{\frac {3}{28}}{\sqrt {3}}+{\frac {2}{7}}\cdot {\sqrt {3}}^{2}\\&={\frac {1}{10}}+{\frac {6}{7}}-{\left({\frac {4}{15}}+{\frac {3}{28}}\right)}{\sqrt {3}}\\&={\frac {7+60}{70}}-{\frac {112+45}{420}}{\sqrt {3}}\\&={\frac {67}{70}}-{\frac {157}{420}}{\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen ${}z,w$ als äquivalent gelten, wenn ihre ${}17$-te Potenz übereinstimmt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es ${}17$ komplexe Zahlen mit ${}z^{17}=1$ gibt)?

Lösung

1. Zwei komplexe Zahlen gelten als äquivalent, wenn sie unter der Abbildung

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{17},$

   den gleichen Wert besitzen. In einer solchen Situation liegt stets eine Äquivalenzrelation vor.

2. Da ${}{\mathbb {C} }$ ein Körper ist, besteht die Äquivalenzklasse zu ${}0$ allein aus ${}0$, sie ist also einelementig. Die Äquivalenzklasse zu ${}1$ besteht aus den ${}17$ ${}17$-ten Einheitswurzeln. Für von ${}0$ verschiedene Zahlen ist

   ${}z^{17}=w^{17}\,$

   genau dann, wenn

   ${}{\left({\frac {w}{z}}\right)}^{17}=1\,,$

   wenn also ${}w/z$ eine ${}17$-te Einheitswurzel ist. Somit besteht die Äquivalenzklasse zu ${}z\neq 0$ aus der ${}17$ Elementen ${}z\zeta$, wobei ${}\zeta$ die ${}17$-ten Einheitswurzeln durchläuft.

Aufgabe (4 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{5}+10x^{4}+x-5=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{5}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Lösung

Wir machen den Ansatz ${}x=y+c$. Einsetzen ergibt

$(y+c)^{5}+10(y+c)^{4}+y+c-5=0,$

wobei der Koeffizient zu ${}y^{4}$ gleich ${}0$ werden soll. Dieser Koeffizient ist ${}5c+10$, also muss man

$c=-2$

wählen. Damit wird das Polynom zu

${}{\begin{aligned}\,&=(y+c)^{5}+10(y+c)^{4}+y+c-5\\&=(y-2)^{5}+10(y-2)^{4}+y-2-5\\&=y^{5}-5\cdot 2y^{4}+10(-2)^{2}y^{3}+10(-2)^{3}y^{2}+5(-2)^{4}y-2^{5}\\&\,\,\,+10(y^{4}+4(-2)y^{3}+6(-2)^{2}y^{2}+4(-2)^{3}y+16)+y-7\\&=y^{5}+40y^{3}-80y^{2}+80y-32-80y^{3}+240y^{2}-320y+160+y-7\\&=y^{5}-40y^{3}+160y^{2}-239y+121\end{aligned}}$

und die äquivalente Gleichung ist

${}y^{5}-40y^{3}+160y^{2}-239y+121=0\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}$ eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{4}-20X^{2}+16$ ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}X^{2}&={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}\\&={\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {7}}^{2}+2{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {7}}\\&=3+7+2{\sqrt {21}}\\&=10+2{\sqrt {21}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}X^{4}&={\left(X^{2}\right)}^{2}\\&={\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}^{2}\\&=100+4\cdot 21+40{\sqrt {21}}\\&=184+40{\sqrt {21}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}X^{4}-20X^{2}+16&=184+40{\sqrt {21}}-20{\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}+16\\&=184-200+16+{\left(40-20\cdot 2\right)}{\sqrt {21}}\\&=0.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung