Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 9/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde einen Primfaktor der Zahl .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde einen Primfaktor der Zahl .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe zwei Primfaktoren von an.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen existieren.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Verknüpfung

(wobei man das wählt), ein Monoid definiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von verschiedene Primideal ein Primelement enthält.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Charakterisiere in die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Seien , und positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit die Teilbarkeit impliziert.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Begründe, ob der größte gemeinsame Teiler zu zwei Zahlen im Allgemeinen einfacher über die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen oder über den euklidischen Algorithmus zu finden ist.


Die folgenden Aufgaben zeigen, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch den Rest besitzen, also . Zeige, dass man innerhalb von auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in nicht weiter zerlegbar sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte den Unterring

Zeige, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente besitzt.


Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem kommutativen Ring , wobei ein fixierter Körper ist. Er besteht aus allen Ausdrücken der Form

mit und besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel

gegeben ist. Beispielsweise ist

Man kann sich bei die Elemente als die Funktionen

vorstellen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in das Produkt


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man jedes Element ( ein Körper) als ein Polynom in mit einem schreiben kann, dass es also ein derart gibt, dass gilt. Welches Polynom kann man bei

nehmen?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in das Element keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in das Element nicht irreduzibel ist.


Die folgende Aufgabe verwendet Logarithmen und benötigt Grundkenntnisse in linearer Algebra.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die reellen Zahlen als -Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Integritätsbereich und ein Unterring mit

In besitze jede Nichteinheit eine Zerlegung in irreduzible Elemente. Zeige, dass diese Eigenschaft auch in gilt.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.

1) Wenn ein größter gemeinsamer Teiler der ist, so ist auch ein größter gemeinsamer Teiler der .

2) Wenn ein Nichtnullteiler ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein faktorieller Bereich und . Zeige, dass und das Produkt aus und zueinander assoziiert sind.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien Elemente in einem faktoriellen Bereich und .

a) Zeige, dass

zueinander assoziiert sind.

b) Zeige, dass

zueinander assoziiert sind.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in keine irreduziblen Elemente gibt.


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