Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 9/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man gebe zwei Primfaktoren von an.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen existieren.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von verschiedene Primideal ein Primelement enthält.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Charakterisiere in die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien , und positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit die Teilbarkeit impliziert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Begründe, ob der größte gemeinsame Teiler zu zwei Zahlen im Allgemeinen einfacher über die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen oder über den euklidischen Algorithmus zu finden ist.
Die folgenden Aufgaben zeigen, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch den Rest besitzen, also . Zeige, dass man innerhalb von auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in nicht weiter zerlegbar sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte den Unterring
Zeige, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente besitzt.
Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem kommutativen Ring , wobei ein fixierter Körper ist. Er besteht aus allen Ausdrücken der Form
mit und besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel
gegeben ist. Beispielsweise ist
Man kann sich bei die Elemente als die Funktionen
vorstellen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne in das Produkt
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass man jedes Element ( ein Körper) als ein Polynom in mit einem schreiben kann, dass es also ein derart gibt, dass gilt. Welches Polynom kann man bei
nehmen?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass in das Element keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass in das Element nicht irreduzibel ist.
Die folgende Aufgabe verwendet Logarithmen und benötigt Grundkenntnisse in linearer Algebra.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die reellen Zahlen als - Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Man bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Integritätsbereich und ein Unterring mit
In besitze jede Nichteinheit eine Zerlegung in irreduzible Elemente. Zeige, dass diese Eigenschaft auch in gilt.
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.
1) Wenn ein größter gemeinsamer Teiler der ist, so ist auch ein größter gemeinsamer Teiler der .
2) Wenn ein Nichtnullteiler ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein faktorieller Bereich und . Zeige, dass und das Produkt aus und zueinander assoziiert sind.
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien Elemente in einem faktoriellen Bereich und .
a) Zeige, dass
zueinander assoziiert sind.
b) Zeige, dass
zueinander assoziiert sind.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es in keine irreduziblen Elemente gibt.
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