Kurs:Funktionentheorie/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	7	3	3	4	3	2	0	0	6	9	3	0	5	3	3	0	57

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die holomorphe Ableitung einer reell differenzierbaren Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$

   ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen.

2. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

3. Eine exakte Differentialform.
4. Eine meromorphe Funkton auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.
5. Das Residuum zu einer holomorphen Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe.
6. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Matrizen und gebrochen-lineare Funktionen auf ${}{\mathbb {C} }$.
2. Der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
3. Der Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}w\in U{\left(0,1\right)}$. Zeige, dass es eine gebrochen-lineare Funktion ${}g$ der Form ${}z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit

${}\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=1\,$

und mit ${}g(0)=w$ gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein wegzusammenhängender metrischer Raum zusammenhängend ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, für welche komplexe Zahlen ${}z$ die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }n^{n}z^{n}$

konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

differenzierbar mit

${}\exp \!'(z)=\exp z\,$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in K[\![S]\!]$ eine formale Potenzreihe mit $b_{0}=0$ und $b_{1}=1$, die wir als ${}G=S+S^{2}H(S)$ schreiben. Es sei ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\in K[[T]]$ die Potenzreihe mit ${}F(G)=S$ und ${}G(F)=T$. Zeige ${}F=T-F^{2}\cdot H(F)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.

Aufgabe * (9 (5+4) Punkte)

Es seien ${}P,Q$ zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ sei in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ von ${}0$ verschieden.

1. Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Determinante konstant ist.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Determinante nicht konstant sein muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt ${}0$ für die rationale Funktion ${}{\frac {1}{1-z}}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon U\rightarrow V$ eine holomorphe Funktion derart, dass zu allen Punkten ${}P\in V$ die Faser ${}f^{-1}(P)$ aus ${}n$ Punkten besteht. Ferner sei ${}f$ ein lokaler Homöomorphismus. Zeige, dass ${}f$ eine Überlagerung ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei ${}\delta (t)=P+e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$ die Standardumrundung von ${}P$. Zeige, dass für jeden Punkt ${}Q\in U{\left(P,1\right)}$ die Windungszahl gleich

${}\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=1\,$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine offene beschränkte einfach zusammenhängende Teilmenge ${}U\subset {\mathbb {C} }$ derart, dass der Abschluss ${}{\overline {U}}$ nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.

Aufgabe (0 Punkte)