Kurs:Funktionentheorie/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	7	3	3	4	3	2	0	0	6	9	3	0	5	3	3	0	57

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die holomorphe Ableitung einer reell differenzierbaren Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$

    ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  offen.

2. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

3. Eine exakte ${}W$-wertige Differentialform ${}\omega$ auf einer offenen Teilmenge  ${}U\subseteq V$,  wobei ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume bezeichnen.
4. Eine meromorphe Funkton auf einer offenen Menge  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$. 
5. Das Residuum zu einer holomorphen Funktion

   $f\colon U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   auf einer punktierten Kreisscheibe.

6. Eine elliptische Funktion zu einem Gitter  ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$. 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Matrizen und gebrochen-lineare Funktionen auf ${}{\mathbb {C} }$.
2. Der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
3. Der Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  ${}w\in U{\left(0,1\right)}$.  Zeige, dass es eine gebrochen-lineare Funktion ${}g$ der Form ${}z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit

${}\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=1\,$

und mit  ${}g(0)=w$  gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein wegzusammenhängender metrischer Raum zusammenhängend ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, für welche komplexe Zahlen ${}z$ die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }n^{n}z^{n}$

konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

differenzierbar mit

${}\exp \!'(z)=\exp z\,$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in K[\![S]\!]$  eine formale Potenzreihe mit $b_{0}=0$ und $b_{1}=1$, die wir als  ${}G=S+S^{2}H(S)$  schreiben. Es sei  ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\in K[[T]]$  die Potenzreihe mit  ${}F(G)=S$  und  ${}G(F)=T$.  Zeige  ${}F=T-F^{2}\cdot H(F)$. 

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.

Aufgabe * (9 (5+4) Punkte)

Es seien ${}P,Q$ zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ sei in jedem Punkt  ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$  von ${}0$ verschieden.

1. Zeige, dass bei  ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$  die Determinante konstant ist.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei  ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$  die Determinante nicht konstant sein muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt ${}0$ für die rationale Funktion ${}{\frac {1}{1-z}}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien  ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$  offen und ${}f\colon U\rightarrow V$ eine holomorphe Funktion derart, dass zu allen Punkten  ${}P\in V$  die Faser ${}f^{-1}(P)$ aus ${}n$ Punkten besteht. Ferner sei ${}f$ ein lokaler Homöomorphismus. Zeige, dass ${}f$ eine Überlagerung ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  ${}P\in {\mathbb {C} }$  und sei  ${}\delta (t)=P+e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$  die Standardumrundung von ${}P$. Zeige, dass für jeden Punkt  ${}Q\in U{\left(P,1\right)}$  die Windungszahl gleich

${}\operatorname {ind} _{\delta }(Q)=1\,$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine offene beschränkte einfach zusammenhängende Teilmenge  ${}U\subset {\mathbb {C} }$  derart, dass der Abschluss ${}{\overline {U}}$ nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.

Aufgabe (0 Punkte)