Kurs:Funktionentheorie/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	4	3	7	3	2	3	0	4	4	3	6	2	3	55

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ganze Funktion
2. Die Kosinusreihe.
3. Der Potenzreihenring in einer Variablen über einem Körper ${}K$.
4. Eine Differentialform ersten Grades auf einer offenen Menge ${}U\subseteq V$ mit Werten in einem Vektorraum ${}W$.
5. Eine wesentliche Singularität.
6. Die Liftung eines stetigen Weges ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ zu einer stetigen Abbildung ${}p\colon Y\rightarrow X$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${}{\mathbb {C} }$.
2. Der Satz über holomorphe Stammfunktionen.
3. Der Satz von Casorati-Weierstrass.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }$ ${}a\neq 0$, und es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${}f(az)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige, dass die Ableitung die Beziehung ${}f'(az)=a^{-1}f'(z)$ erfüllt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {C}$- Vektorraum und es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon V\longrightarrow V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}r>0$. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

mit

${}b_{n}:={\begin{cases}a_{n},\,{\text{ falls }}n\in I,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ${}\geq r$ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der ${}1$- Differentialform

${}\omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy\,$

auf ${}U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der Hauptteil des Produktes von meromorphen Funktionen nicht das Produkt deren Hauptteile sein muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene sternförmige Menge und es sei ${}Z\subseteq S$ die Menge aller Punkte, bezüglich der ${}S$ sternförmig ist. Zeige, dass ${}Z$ abgeschlossen ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und ${}V=U\setminus \{0\}$. Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf ${}V$ und seien ${}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ meromorphe Funktionen auf ${}U$. Es erfülle ${}f$ die Ganzheitsgleichung

${}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$

auf ${}V$. Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}U$ meromorph ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$g\colon ]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetige Funktion mit ${}g(1)=1$. Zeige, dass durch

${}f(x):={\begin{cases}g(x)\,,{\text{ für }}x\leq 1,\,\\{\frac {1}{g\left({\frac {1}{x}}\right)}}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

gegeben ist, die die Bedingung

${}f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$

für alle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$h\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine ganze Funktion und sei

${}f(z):=h{\left(z^{-1}\right)}\,.$

Zeige

${}\operatorname {Res} _{0}\left(f\right)=h'(0)\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Wegeliftungssatz.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$

Zeige, dass

${}L(\exp z)=z+b\,$

auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten ${}b$) gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde für das Gitter ${}\Gamma =\langle 3+{\mathrm {i} },-1+2{\mathrm {i} }\rangle$ das Element ${}\tau$ im Fundamentalbereich ${}D$ derart, dass ${}\Gamma$ streckungsäquivalent zu ${}\langle 1,\tau \rangle$ ist.