Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 9

Einige algebraische Grundbegriffe

Wir erwähnen einige algebraische Grundbegriffe, die für das Verständnis der Eigenschaften der Ringe der formalen Potenzreihen bzw. der konvergenten Potenzreihen relevant sind.

Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von $0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition

Ein Element $u$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Einheit, wenn es ein Element  $v\in R$  mit  $uv=1$  gibt.

Definition

Eine Nichteinheit  $p\ne 0$  in einem kommutativen Ring $R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn Folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt $ab$ mit $a,b\in R$, so teilt $p$ einen der Faktoren.

Definition

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes $R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit  $u\in R$  derart gibt, dass  $a=ub$  ist.

Definition

Eine Teilmenge $𝔞$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  $0\in 𝔞$. 
2. Für alle  $a,b\in 𝔞$  ist auch  $a+b\in 𝔞$. 
3. Für alle  $a\in 𝔞$  und  $r\in R$  ist auch  $ra\in 𝔞$. 

Definition

Ein Ideal $𝔞$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form

$𝔞=(a)=Ra=\{ra:r\in R\}$

heißt Hauptideal.

Definition

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Sowohl die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ als auch der Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ bilden einen Hauptidealbereich, was in beiden Fällen auf der Division mit Rest beruht, siehe Satz 20.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Definition

Ein Ideal $𝔪$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn  $𝔪\ne R$  ist und wenn es zwischen $𝔪$ und $R$ kein weiteres Ideal gibt.

Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Definition

Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.

Beispiel

Es sei $p$ eine Primzahl und sei

$R={\mathbb{Z}}_{(p)}=\{q\in \mathbb{Q}\mid \text{ in der gekürzten Darstellung von }q\text{ ist der Nenner kein Vielfaches von }p\}$

die sogenannte Lokalisierung am maximalen Ideal  $𝔪=(p)$.  Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring. $R$ ist ein Hauptidealbereich, da ja $\mathbb{Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Die Ideale von $R$ sind das Nullideal und die Ideale $\left(p^n\right)$ mit  $n\in \mathbb{N}$.  Die beiden einzigen Primideale von $R$ sind  $(0)\subset (p)$,  und Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich $p$.

Formale Potenzreihen

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $T$ eine Variable. Eine formale Potenzreihe in $T$ über $K$ ist ein Ausdruck der Form

$F=\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_n{T}^n,$

mit  $a_n\in K$  für alle  $n\in \mathbb{N}$. 

Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. D.h. man setzt

$F\cdot G=\left({\sum }_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{T}^i\right)\left({\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j\right)={\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{T}^k$

mit  $c_k=\sum _{i=0}^k{a}_i{b}_{k-i}$.  Die Multiplikation ist also durch das Cauchy-Produkt gegeben.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $T$ eine Variable. Dann nennt man die Menge aller formalen Potenzreihen über $K$ in $T$ den Potenzreihenring in einer Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen) über $K$. Er wird mit

$K[[T]]$

bezeichnet.

Lemma

Der Ring der formalen Potenzreihen $K[[T]]$ in einer Variablen über einem Körper $K$

ist ein kommutativer Ring.

Beweis

Siehe Aufgabe 9.12.

$◻$

Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[[T]]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.

Dann ist eine formale Potenzreihe  $F={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}^n$  genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term  $a_0\ne 0$  ist.

Beweis

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

$K[[T]]⟶K,F⟼a_0,$

die eine Potenzreihe $F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe 9.13. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe  $G={\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j$  mit

$FG=\left({\sum }_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{T}^i\right)\left({\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j\right)=1$

angeben. Für $b_0$ ergibt sich daraus die Bedingung  $a_0{b}_0=1$,  die wegen  $a_0\ne 0$  eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich  $b_0=a_0^{-1}$.  Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten $b_j$ für  $j<n$  schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten $c_k$, $1\le k<n$, der Produktreihe $FG$ gleich $0$ sind. Für den $n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

$0=c_n=a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+\cdots +a_{n-1}{b}_1+a_n{b}_0.$

Dabei sind bis auf $b_n$ alle Werte schon festgelegt, und wegen  $a_0\ne 0$  ergibt sich eine eindeutige Lösung für $b_n$.

$◻$

Beispiel

Wir betrachten $1-T$ im Potenzreihenring $K[[T]]$ über einem beliebigen Körper $K$. Nach Satz 9.15 besitzt $1-T$ ein inverses Element, das man über den Ansatz

$1=(1-T)(b_0+b_{1}T+b_2{T}^2+b_3{T}^3+\dots )$

bestimmen kann. Induktiv ergibt sich, dass  $b_n=1$  für alle  $n\in \mathbb{N}$  ist, das Inverse ist also die (formale) geometrische Reihe.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und  $R=K[[T]]$  der Potenzreihenring in einer Variablen.

Dann ist $R$ ein diskreter Bewertungsring.

Beweis

Zunächst ist $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal  $𝔪=(T)$.  Wenn nämlich eine Potenzreihe $F$ keine Einheit ist, so muss nach Satz 9.15 der konstante Term von $F$ gleich $0$ sein. Dann kann man aber  $F=T\tilde{F}$  mit der umindizierten Potenzreihe $\tilde{F}$ schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind $F$ und $G$ von $0$ verschiedene Potenzreihen, so ist

$F=a_k{T}^k+a_{k+1}{T}^{k+1}+\dots$

und

$G=b_{\ell }{T}^{\ell }+a_{\ell +1}{T}^{\ell +1}+\dots$

mit  $a_k,b_{\ell }\ne 0$.  Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient

$c_{k+\ell }=a_k{b}_{\ell }\ne 0,$

da die kleineren Koeffizienten alle $0$ sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal $\ne 0$ von $T^j$ erzeugt, wobei $j$ das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten $\ne 0$ von Potenzreihen in dem Ideal ist.

$◻$

Einsetzen von formalen Potenzreihen

Man kann Potenzreihen nicht nur addieren und multiplizieren, sondern auch, unter gewissen Zusatzbedingungen, Potenzreihen in andere Potenzreihen einsetzen. Diese Operation entspricht der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und  $F={\sum }_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{T}^i\in K[[T]]$  eine Potenzreihe. Es sei  $G={\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j$  eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term $0$. Dann nennt man die Potenzreihe

$\begin{array}{cc}F(G)& =a_0+a_1\left({\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j\right)+a_2{\left({\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j\right)}^2+a_3{\left({\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j\right)}^3+\dots \\ & ={\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{T}^k\end{array}$

die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch ($c_0=a_0$ und)

$c_k=\sum _{s=0}^k{a}_s(\sum _{j_1+\cdots +j_s=k}{b}_{j_1}\cdots b_{j_s})$

festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten $s$-Tupel  $(j_1,\dots ,j_s)\in {\mathbb{N}}_{+}^s$  summiert.

Man beachte in der vorstehenden Definition, dass wegen  $b_0=0$  nur über  $j\ge 1$  summiert wird, sodass alle beteiligten Summen endlich sind. Die Formeln für das Einsetzen sind derart, dass sie bei Polynomen das übliche Einsetzen von Polynomen in Polynome ergeben. Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen liefert wieder einen Einsetzungshomomorphismus der Potenzreihenringe.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring $K[[T]]$. Es sei  $G\in K[[S]]$  eine Potenzreihe mit konstantem Term $0$.

Dann definiert $G$ durch Einsetzen einen $K$-Algebrahomomorphismus

$K[[T]]⟶K[[S]],F⟼F(G).$

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert. Um zu zeigen, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt, muss man lediglich gewisse Koeffizienten vergleichen. Diese hängen immer nur von endlich vielen Koeffizienten der beteiligten Potenzreihen an, sodass sich diese Aussage aus dem polynomialen Fall ergibt.

$◻$

Die folgende Aussage ist der Umkehrsatz in einer Variablen für formale Potenzreihe und ist analog zu Korollar 5.3.

Satz

Es sei $K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring $K[[T]]$. Es sei  $G={\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{S}^j\in K[[S]]$  eine Potenzreihe mit $b_0=0$ und $b_1\ne 0$.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Potenzreihe  $F\in K[[T]]$  mit

$F(G)=S.$

Beweis

Wir machen den Ansatz  $F={\sum }_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{T}^i$  für die Potenzreihe $F$ und betrachten die Bedingung  $F(G)=S$.  Dabei muss  $a_0=0$  und  $a_1=b_1^{-1}$  sein. Es sei nun die Potenzreihe $F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum $(k-1)$-Koeffizienten bereits konstruiert und ihre Eindeutigkeit nachgewiesen. Für den Koeffizienten $c_k$ hat man nach der Definition 9.18 die Bedingung

$\begin{array}{cc}0& =c_k\\ & =\sum _{s=0}^k{a}_s(\sum _{j_1+\cdots +j_s=k}{b}_{j_1}\cdots b_{j_s})\\ & =\sum _{s=0}^{k-1}{a}_s(\sum _{j_1+\cdots +j_s=k}{b}_{j_1}\cdots b_{j_s})+a_k{b}_1^k.\end{array}$

Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an $a_k$.

$◻$

Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $K[[T]]$ der Potenzreihenring über $K$ und  $G={\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{T}^j$  mit $b_0=0$ und $b_1\ne 0$.

Dann definiert der durch $T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorphismus einen $K$-Algebraautomorphismus auf $K[[T]]$.

Beweis

Nach Satz 9.20 gibt es eine Potenzreihe  $F={\sum }_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{T}^i$  mit  $F(G)=T$.  Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung

$K[[T]]\stackrel{T\mapsto F}{⟶}K[[T]]\stackrel{T\mapsto G}{⟶}K[[T]].$

Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus $T\mapsto T$, und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da $K[[T]]$ nach Korollar 9.17 ein diskreter Bewertungsring ist, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.

$◻$

Aus dem vorstehenden Beweis ergibt sich, dass auch  $G(F)=T$  ist. In der Hintereinanderschaltung

$K[[T]]\stackrel{T\mapsto F}{⟶}K[[T]]\stackrel{T\mapsto G}{⟶}K[[T]]$

wird $G$ links auf $G(F)$ und dieses wiederum auf $G$ abgebildet, da die Gesamtabbildung die Identität ist. Doch die hintere Abbildung bildet $T$ auf $G$ ab, also muss wegen der Injektivität  $G(F)=T$  gelten.

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