Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 10

Der Ring der konvergenten Potenzreihen

In der letzten Vorlesung haben wir auf der formalen Ebene die inverse Potenzreihe, das Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen und die Umkehrreihe betrachtet. In dieser Vorlesung betrachten wir die entsprechenden Konvergenzaussagen.

Definition

Man nennt den Ring aller in einer offenen Umgebung von ${}0\in {\mathbb {C} }$ konvergenten Potenzreihen den Ring der konvergenten Potenzreihen.

Dieser Ring wird mit ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$ bezeichnet. Es beruht auf Lemma 8.5, dass dabei ein kommutativer Ring vorliegt, wobei die über die Potenzreihen definierte Addition und Multiplikation mit der Addition und Multiplikation von Funktionen übereinstimmen. Es liegt insbesondere die Unterringbeziehung ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle \subseteq {\mathbb {C} }[\![T]\!]$ vor. Dagegen ist es nicht unmittelbar klar, dass die formal gegebenen Operationen wie inverse Potenzreihe, Einsetzen von Potenzreihen, Umkehrreihe wieder zu konvergenten Reihen führen.

Lemma

Es sei ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in {\mathbb {C} }[\![T]\!]$ eine konvergente Potenzreihe mit ${}a_{0}\neq 0$.

Dann ist auch die formal invertierte Potenzreihe ${}{\frac {1}{F}}$ konvergent.

Beweis

Gemäß dem Beweis zu Satz 9.15 ist die inverse formale Potenzreihe gleich

${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\,,$

wobei die Koeffizienten die rekursiven Bedingungen ${}b_{0}=a_{0}^{-1}$ und

${}a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}=0\,$

bzw.

${}b_{n}={\frac {1}{a_{0}}}{\left(-a_{1}b_{n-1}-\cdots -a_{n-1}b_{1}-a_{n}b_{0}\right)}\,$

erfüllen. Wir können ${}a_{0}=1$ annehmen, wodurch sich die letzte Gleichung vereinfacht. Wegen der Konvergenz von ${}F$ gibt es nach Aufgabe 8.6 eine positive reelle Zahl ${}A$ mit ${}\vert {a_{n}}\vert \leq A^{n}$. Wir behaupten

${}\vert {b_{n}}\vert \leq {\frac {1}{2}}(2A)^{n}\,$

für ${}n\geq 1$, was wir durch Induktion beweisen. Bei ${}n=1$ ist direkt ${}\vert {b_{1}}\vert =\vert {-a_{1}}\vert \leq A$. Für ${}n\geq 1$ ist

${}{\begin{aligned}\vert {b_{n}}\vert &\leq \vert {-a_{1}b_{n-1}-\cdots -a_{n-1}b_{1}-a_{n}b_{0}}\vert \\&\leq \vert {a_{1}}\vert \vert {b_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{n-1}}\vert \vert {b_{1}}\vert +\vert {a_{n}}\vert \vert {b_{0}}\vert \\&\leq A^{1}{\frac {(2A)^{n-1}}{2}}+\cdots +A^{n-1}{\frac {(2A)^{1}}{2}}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2^{n-1}A^{n}+\cdots +2A^{n}\right)}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\left(2^{n}-2\right)}A^{n}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2^{n}\cdot A^{n}.\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich die Konvergenz der invertierten Reihe.

$\Box$

Insbesondere ergibt sich entsprechend zu Satz 9.15, dass eine konvergente Potenzreihe genau dann eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen ist, wenn der konstante Term nicht ${}0$ ist. Wenn eine nullstellenfreien Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ durch eine Potenzreihe gegeben ist, so ist auch die Funktion ${}{\frac {1}{f}}$ durch eine Potenzreihe beschreibbar, die formale Invertierung ergibt die invertierte Funktion.

Korollar

Es sei ${}G/F$ eine rationale Funktion über ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}c\in {\mathbb {C} }$ keine Nullstelle des Nennerpolynoms.

Dann wird ${}G/F$ in einer offenen Umgebung von ${}c$ durch eine konvergente Potenzreihe beschrieben.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 10.2 und Lemma 8.5  (2).

$\Box$

Die Potenzreihe einer rationalen Funktion bestimmt man am besten über die Taylorentwicklung.

Lemma

Der Ring der konvergenten Potenzreihen ${}{\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$

ist ein diskreter Bewertungsring.

Beweis

Als Unterring des formalen Potenzreihenringes handelt es sich nach Korollar 9.17 um einen Integritätsbereich. Für ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\neq 0$ sei ${}k$ der minimale Index mit ${}a_{k}\neq 0$. Dann ist

${}F=T^{k}G\,$

mit der formalen Potenzreihe

${}G=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}T^{n-k}\,.$

Die Konvergenz von ${}F$ sichert, dass auch ${}G$ konvergiert. Dabei ist ${}G$ nach Lemma 10.2 eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen und somit ist das von ${}F$ erzeugte Ideal gleich ${}(T^{k})$. Das von einer Elementfamilie ${}F_{j}$, ${}j\in J$, erzeugte Ideal ist gleich dem von der Familie ${}T^{k_{j}}$, ${}j\in J$, erzeugten Ideal, wobei

${}F_{j}=T^{k_{j}}G_{j}\,$

mit einer Einheit ${}G_{j}$ ist. Dieses Ideal ist gleich dem Hauptideal ${}(T^{k})$, wobei ${}k$ das Minimum der ${}k_{j}$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit dem einzigen maximalen Ideal ${}(T)$ und damit ein diskreten Bewertungsring vor.

$\Box$

Einsetzen von Potenzreihen

Definition

Für eine komplexe Potenzreihe ${}F=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ und eine reelle Zahl ${}t\in \mathbb {R} _{+}$ nennt man

${}\Vert {F}\Vert _{t}:=\sum _{n=0}^{\infty }\vert {c_{n}}\vert t^{n}\,$

die ${}t$-Norm von ${}F$. Ihr Wert liegt in ${}\mathbb {R} _{+}$ oder ist gleich ${}\infty$.

Lemma

Die ${}t$- Norm von komplexen Potenzreihen erfüllt folgende Eigenschaften (dabei seien ${}F,G$ Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}0$ und ${}t\in \mathbb {R} _{+}$).

1. Für den Konvergenzradius ${}R$ von ${}F$ gilt

   ${}R=\operatorname {sup} (t,\Vert {F}\Vert _{t}<\infty )\,.$

   Insbesondere liegt genau dann eine konvergente Potenzreihe vor, wenn es ein ${}t>0$ mit ${}\Vert {F}\Vert _{t}<\infty$ gibt.

2. Es ist ${}\Vert {F}\Vert _{t}=0$ genau dann, wenn ${}F=0$ ist.
3. Es ist

   ${}\Vert {F+G}\Vert _{t}\leq \Vert {F}\Vert _{t}+\Vert {G}\Vert _{t}\,.$

4. Für ${}w\in {\mathbb {C} }$ ist

   ${}\Vert {wF}\Vert _{t}=\vert {w}\vert \cdot \Vert {F}\Vert _{t}\,.$

5. Es ist

   ${}\Vert {F\cdot G}\Vert _{t}\leq \Vert {F}\Vert _{t}\cdot \Vert {G}\Vert _{t}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 10.27.

$\Box$

Satz

Es seien ${}F$ und ${}G$ konvergente Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}0$, es seien ${}f,g$ die zugehörigen Funktionen und es gelte ${}g(0)=0$.

Dann konvergiert die formal eingesetzte Potenzreihe ${}F(G(z))$ (siehe Definition 9.18) und beschreibt auf einer offenen Umgebung von ${}0$ die Hintereinanderschaltung ${}f\circ g$.

Beweis

Es seien ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}$ und ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}$ die konvergenten Potenzreihen mit ${}b_{0}=0$. Die eingesetzte Potenzreihe ist

${}{\begin{aligned}F(G)&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}\\\end{aligned}}$

mit den Koeffizienten

${}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{i}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\right)}\,.$

Die Potenzen

${}G(z)^{i}={\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}\right)}^{i}\,$

sind konvergent nach Lemma 8.5, sie beschreiben die ${}i$-te Potenz von ${}g$ und die Koeffizientenbeschreibung ist

${}G(z)^{i}=\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\,$

mit

${}d_{\ell ,i}=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{i}),\,\sum _{r=1}^{i}j_{r}=\ell }b_{j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\,.$

Wegen ${}b_{0}=0$ tragen nur die Tupel ${}(j_{1},\ldots ,j_{i})$ bei, in denen jeder Index ${}\geq 1$ ist. Daher ist

${}d_{\ell ,i}=0\,$

für ${}\ell <i$. Es gilt

${}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}d_{k,i}\,.$

Es sei nun ${}R$ der Konvergenzradius von ${}F$ und ${}S$ der Konvergenzradius von ${}G$. Es sei ${}t\in \mathbb {R} _{+}$ derart, dass

${}\Vert {G}\Vert _{t}<R\,$

ist. Solche ${}t$ gibt es wegen der Stetigkeit von ${}g$, siehe Aufgabe 10.16. Für ${}\vert {z}\vert \leq t$ ist

${}\vert {g(z)}\vert \leq \sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \vert {z}\vert ^{j}\leq \sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert t^{j}=\Vert {G}\Vert _{t}<R\,$

und daher landen diese ${}z$ unter ${}g$ im Konvergenzbereich von ${}F$. Für ${}\vert {z}\vert \leq t$ ist also

${}f(g(z))=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\right)}\,.$

Dabei gilt unter Verwendung von Lemma 10.6  (5)

${}{\begin{aligned}\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert {\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\vert {d_{\ell ,i}}\vert \vert {z}\vert ^{\ell }\right)}&\leq \sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert {\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\vert {d_{\ell ,i}}\vert t^{\ell }\right)}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {G^{i}}\Vert _{t}\\&\leq \sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {G}\Vert _{t}^{i}\\&=\Vert {F}\Vert _{\Vert {G}\Vert _{t}}\end{aligned}}$

was nach der Bedingung an ${}t$ endlich ist. Es liegt also eine bestimmte Aufspaltung der Familie ${}\vert {a_{i}}\vert \vert {d_{\ell ,i}z^{\ell }}\vert$, ${}(i,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}$, vor, die konvergiert. Daher ist diese Familie und auch die Familie ${}a_{i}d_{\ell ,i}z^{\ell }$, ${}(i,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}$, summierbar. Nach dem großen Umordnungssatz gilt daher

${}{\begin{aligned}f(g(z))&=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}d_{k,i}\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}d_{k,i}\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}\\&=(F\circ G)(z).\end{aligned}}$

Die Hintereinanderschaltung der Funktionen konvergiert also und stimmt mit der formalen Einsetzung überein

$\Box$

Satz

Es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in {\mathbb {C} }[\![S]\!]$ eine konvergente Potenzreihe mit ${}b_{0}=0$ und ${}b_{1}\neq 0$.

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe ${}F$, die die Umkehrabbildung zu ${}G$ beschreibt.

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}b_{1}=1$, wir schreiben

${}G=S+S^{2}H(S)\,$

mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe ${}H=H(S)$. Es sei ${}s\in \mathbb {R} _{+}$ derart, dass

${}\Vert {H}\Vert _{s}=N<\infty \,$

ist.

Es sei nun ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ die formale Potenzreihe aus Satz 9.20 mit ${}F(G)=S$ und ${}G(F)=T$. Wir müssen zeigen, dass ${}F$ ebenfalls konvergiert. Dazu setzen wir ${}F$ in Bezug zu den rekursiv definierten formalen Potenzreihen ${}F_{n}$, die durch ${}F_{1}=T$ und

${}F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})\,$

gegeben sind. Wir setzen

${}t={\frac {M}{2}}={\frac {\operatorname {min} \left(s,\,{\frac {1}{2N}}\right)}{2}}\,$

und behaupten zunächst, dass die ${}t$-Norm der ${}F_{n}$ durch ${}M$ beschränkt und insbesondere endlich ist. Dies ergibt sich durch Induktion. Für ${}n=1$ ist es trivialerweise richtig und es ist, unter Verwendung von Lemma 10.6 und dem Beweis zu Satz 10.7,

${}{\begin{aligned}\Vert {F_{n+1}}\Vert _{t}&\leq t+\Vert {F_{n}}\Vert _{t}^{2}\cdot \Vert {H(F_{n})}\Vert _{t}\\&\leq t+\Vert {F_{n}}\Vert _{t}^{2}\cdot \Vert {H}\Vert _{\Vert {F_{n}}\Vert _{t}}\\&\leq t+\Vert {F_{n}}\Vert _{t}^{2}\cdot \Vert {H}\Vert _{M}\\&\leq {\frac {M}{2}}+M^{2}\cdot \Vert {H}\Vert _{s}\\&\leq {\frac {M}{2}}+M^{2}N\\&\leq M.\end{aligned}}$

Ebenfalls mit Induktion folgt, dass die Koeffizienten bis einschließlich ${}T^{n}$ von ${}F_{n}$ mit den Koeffizienten von ${}F$ übereinstimmen. Dies ergibt sich einerseits aus der Rekursionsbedingung

${}F_{n+1}=T-F_{n}^{2}\cdot H(F_{n})\,,$

die zeigt, dass die Koeffizienten von ${}F_{n+1}$ bis ${}T^{n+1}$ nur von den Koeffizienten von ${}F_{n}$ bis ${}T^{n}$ und von denen von ${}H$ abhängen, und andererseits daraus, dass ${}F$ für diese Rekursionsgleichung ein Fixpunkt ist, also

${}F=T-F^{2}\cdot H(F)\,$

gilt, siehe Aufgabe 9.25. Mit Aufgabe 10.19 folgt dann auch ${}\Vert {F}\Vert _{t}\leq M$, also die Konvergenz von ${}F$.

Da die formale Umkehrreihe ${}F\circ G=S$ und ${}G\circ F=T$ erfüllt, folgt mit Satz 10.7, dass die zugehörigen Funktionen die Umkehrabbildungen zueinander sind.

$\Box$

Komplex-analytische Funktionen

Definition

Eine Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ heißt analytisch, wenn sie in jedem Punkt ${}w\in U$ lokal durch eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}w$ beschrieben werden kann.

Lemma

Eine komplex-analytische Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Menge

ist unendlich oft komplex differenzierbar.

Beweis

Dies folgt aus Korollar 8.13.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ komplex-analytische Funktionen auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.

Dann sind auch ${}f+g$ und ${}fg$ komplex-analytisch.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 8.5.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie komplex-analytische Funktion auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.

Dann ist auch ${}{\frac {1}{f}}$ komplex-analytisch.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 10.2.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offene Mengen und seien ${}g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ und

$f\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$

komplex-analytische Funktionen mit ${}g(U)\subseteq V$.

Dann ist auch ${}f\circ g$ komplex-analytisch.

Beweis

Dies folgt aus Satz 10.7.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}P\in U$ ein Punkt und sei ${}g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex-analytische Funktion mit ${}g'(P)\neq 0$.

Dann besitzt die Einschränkung von ${}g$ auf einer offenen Umgebung von ${}P$ eine komplex-analytische Umkehrfunktion.

Beweis

Dies folgt aus Satz 10.8.

$\Box$

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ komplex-analytische Funktionen. Es gebe eine Folge ${}x_{n}$ in ${}U$ mit einem Häufungspunkt ${}x\in U$, der von allen ${}x_{n}$ verschieden sei. Es gelte ${}f(x_{n})=g(x_{n})$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann ist ${}f=g$.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.25.

$\Box$

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