Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 9

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Einheiten von $\mathbb{Z}$ und von $K[X]$, wobei $K$ ein Körper sei.

Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring $R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt $a|c$ genau dann, wenn $b|c$.
2. Ist $R$ ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Aufgabe

Zeige, dass in einem Integritätsbereich $R$ zwei Elemente $a$ und $b$ genau dann assoziiert sind, wenn für die Hauptideale  $Ra=Rb$  gilt.

Aufgabe

Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl  $n\ne 0$  bezeichne ${\nu }_p(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${\nu }_p:\mathbb{Z}\setminus \{0\}\to \mathbb{N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt  ${\nu }_p(nm)={\nu }_p(n)+{\nu }_p(m)$. 

c) Finde eine Fortsetzung ${\nu }_p:\mathbb{Q}\setminus \{0\}\to \mathbb{Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${\mathbb{Q}}^{\times }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und $\mathbb{Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

Zu einem Element $f\in R,f\ne 0$, in einem diskreten Bewertungsring $R$ mit Primelement $p$ heißt die Zahl  $n\in \mathbb{N}$  mit der Eigenschaft  $f=u{p}^n$,  wobei $u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von $f$. Sie wird mit $\mathrm{ord}\left(f\right)$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal  $𝔪=(p)$.  Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}⟶\mathbb{N},f⟼\mathrm{ord}\left(f\right),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1.  $\mathrm{ord}\left(fg\right)=\mathrm{ord}\left(f\right)+\mathrm{ord}\left(g\right)$. 
2.  $\mathrm{ord}(f+g)\ge \min (\mathrm{ord}\left(f\right),\mathrm{ord}\left(g\right))$. 
3. Es ist  $f\in 𝔪$  genau dann, wenn  $\mathrm{ord}\left(f\right)\ge 1$  ist.
4. Es ist  $f\in R^{\times }$  genau dann, wenn  $\mathrm{ord}\left(f\right)=0$  ist.

Zu einem Integritätsbereich $R$ ist der Quotientenkörper $Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

$Q(R)=\{\frac{r}{s}\mid r,s\in R,s\ne 0\}$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element $q\in Q(R)$, $q\ne 0$, die Ordnung

$\mathrm{ord}\left(q\right)\in \mathbb{Z}.$

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus $Q(R)\setminus \{0\}\to \mathbb{Z}$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei

$\nu :(K^{\times },\cdot ,1)⟶(\mathbb{Z},+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit  $\nu (f+g)\ge min\{\nu (f),\nu (g)\}$  für alle  $f,g\in K^{\times }$.  Zeige, dass

$R=\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\ge 0\}\cup \{0\}$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K[X]$ der Polynomring über $K$ und $K(X)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Es sei  $a\in K$.  Wir setzen

$R=\{f\in K(X)\mid f\text{ ist im Punkt }a\text{ definiert}\}.$

a) Zeige, dass $R$ ein Unterring von $K(X)$ ist.

b) Zeige

$R=K[X{]}_{(X-a)}:=\{\frac{P}{Q}\mid Q\text{ ist (nach Kürzung) kein Vielfaches von }X-a\}.$

c) Zeige, dass $R$ ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei $f\in ℂ[X]$, $f\ne 0$, und  $a\in ℂ$.  Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die minimale Ordnung einer Ableitung mit  $f^{(k)}(a)\ne 0$. 
2. Der Exponent des Linearfaktors $X-a$ in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome.
3. Die Ordnung von $f$ an der Lokalisierung $ℂ[X{]}_{(X-a)}$ von $ℂ[X]$ am maximalen Ideal $(X-a)$.

Aufgabe

Beschreibe eine formale Potenzreihe über $ℂ$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass der Ring der formalen Potenzreihen $K[[T]]$ in einer Variablen über einem Körper $K$ ein kommutativer Ring ist.

Es seien $R$ und $S$ Ringe. Eine Abbildung

$\phi :R⟶S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$. 
2.  $\phi (1)=1$. 
3.  $\phi (a\cdot b)=\phi (a)\cdot \phi (b)$. 

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[[T]]$ der Potenzreihenring. Zeige, dass die Abbildung

$K[[T]]⟶K,$

die einer Potenzreihe ihren konstanten Koeffizienten zuordnet, ein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper,  $𝔪=(T)\subseteq K[T]$  das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung  $R=K[T{]}_{𝔪}$.  Definiere einen $K$-Algebrahomomorphismus

$\phi :R⟶K[[T]]$

mit  $\phi (T)=T$,  wobei $K[[T]]$ den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper,  $𝔪=(T)\subseteq K[T]$  das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung  $R=K[T{]}_{𝔪}$  und sei

$R⟶K[[T]]$

der $K$-Algebrahomomorphismus aus Aufgabe 9.14. Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die Ordnung von Elementen nicht ändert.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Finde einen diskreten Bewertungsring  $R\subseteq K(T)$  mit  $Q(R)=K(T)$  und mit  $R\cap K[T]=K$. 

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[[T]]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu $1+T$ an.

Aufgabe

Bestimme für das Polynom  $F=Z^2+1$  die Potenzreihe zu $\frac{1}{F}$ bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $R=K[[T]]$  der Potenzreihenring Zeige, dass es in $R$ keine Quadratwurzel für $T$ gibt. Zeige ferner, dass für  $K=\mathbb{Z}/(7)$  das Element $T+2$ eine Quadratwurzel in $R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Eine formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil ist eine unendliche Summe der Form

$F=\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}^n\text{ mit }{a}_n\in K\text{ und }k\in \mathbb{Z}.$

Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen (mit geeigneten Ringoperationen) isomorph zum Quotientenkörper des Potenzreihenringes $K[[T]]$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass man die konstante Potenzreihe  $G=1$  nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 9.18.

Aufgabe

Bestimme für das Polynom

$(S-1{)}^2-1=S^2-2S$

über $\mathbb{Q}$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung $4$.

Aufgabe

Berechne zum Polynom  $G=2S^3+S^2+S$  über dem Körper $\mathbb{Z}/(3)$ die Koeffizienten $a_0,a_1,a_2,a_3$ der Potenzreihe

$F=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}^n$

mit  $F(G)=S$. 

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei  $G={\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{S}^j\in K[[S]]$  eine formale Potenzreihe mit $b_0=0$ und $b_1=1$, die wir als  $G=S+S^{2}H(S)$  schreiben. Es sei  $F={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}^n\in K[[T]]$  die Potenzreihe mit  $F(G)=S$  und  $G(F)=T$.  Zeige  $F=T-F^2\cdot H(F)$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kosinusreihe die Potenzreihe zu $\frac{1}{\cos z}$ bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das Polynom

$(S-1{)}^3+1=S^3-3S^2+3S$

über $\mathbb{Q}$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung $4$.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne zum Polynom  $G=3S^4+S^3+2S^2+3S$  über dem Körper $\mathbb{Z}/(5)$ die Koeffizienten $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4$ der Potenzreihe

$F=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}^n$

mit  $F(G)=S$.