Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 9

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Einheiten von ${}\mathbb {Z}$ und von ${}K[X]$, wobei ${}K$ ein Körper sei.

Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring ${}R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. Sind ${}a$ und ${}b$ assoziiert, so gilt ${}a|c$ genau dann, wenn ${}b|c$.
2. Ist ${}R$ ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Aufgabe

Zeige, dass in einem Integritätsbereich ${}R$ zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ genau dann assoziiert sind, wenn für die Hauptideale  ${}Ra=Rb$  gilt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl  ${}n\neq 0$  bezeichne ${}\nu _{p}(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt  ${}\nu _{p}(nm)=\nu _{p}(n)+\nu _{p}(m)$. 

c) Finde eine Fortsetzung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Q} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und ${}\mathbb {Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring ${}R$ mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  mit der Eigenschaft  ${}f=up^{n}$,  wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=(p)$.  Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1.  ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$. 
2.  ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$. 
3. Es ist  ${}f\in {\mathfrak {m}}$  genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$  ist.
4. Es ist  ${}f\in R^{\times }$  genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$  ist.

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

${}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}R$ und ${}Q$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, die Ordnung

${}\operatorname {ord} \,(q)\in \mathbb {Z} \,.$

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus ${}R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus ${}Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit  ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$  für alle  ${}f,g\in K^{\times }$.  Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und ${}K(X)$ der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Es sei  ${}a\in K$.  Wir setzen

${}R={\left\{f\in K(X)\mid f{\text{ ist im Punkt }}a{\text{ definiert}}\right\}}\,.$

a) Zeige, dass ${}R$ ein Unterring von ${}K(X)$ ist.

b) Zeige

${}R=K[X]_{(X-a)}:={\left\{{\frac {P}{Q}}\mid Q{\text{ ist (nach Kürzung) kein Vielfaches von }}X-a\right\}}\,.$

c) Zeige, dass ${}R$ ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}f\neq 0$, und  ${}a\in {\mathbb {C} }$.  Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${}f$ an der Stelle ${}a$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${}f$ an der Stelle ${}a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit  ${}f^{(k)}(a)=0$. 
2. Der Exponent des Linearfaktors ${}X-a$ in der Zerlegung von ${}f$ in irreduzible Polynome.
3. Die Ordnung von ${}f$ an der Lokalisierung ${}{\mathbb {C} }[X]_{(X-a)}$ von ${}{\mathbb {C} }[X]$ am maximalen Ideal ${}(X-a)$.

Aufgabe

Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${}{\mathbb {C} }$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass der Ring der formalen Potenzreihen ${}K[\![T]\!]$ in einer Variablen über einem Körper ${}K$ ein kommutativer Ring ist.

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$. 
2.  ${}\varphi (1)=1$. 
3.  ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$. 

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Zeige, dass die Abbildung

$K[\![T]\!]\longrightarrow K,$

die einer Potenzreihe ihren konstanten Koeffizienten zuordnet, ein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}{\mathfrak {m}}=(T)\subseteq K[T]$  das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung  ${}R=K[T]_{\mathfrak {m}}$.  Definiere einen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow K[\![T]\!]$

mit  ${}\varphi (T)=T$,  wobei ${}K[\![T]\!]$ den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}{\mathfrak {m}}=(T)\subseteq K[T]$  das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung  ${}R=K[T]_{\mathfrak {m}}$  und sei

$R\longrightarrow K[\![T]\!]$

der ${}K$- Algebrahomomorphismus aus Aufgabe 9.14. Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die Ordnung von Elementen nicht ändert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Finde einen diskreten Bewertungsring  ${}R\subseteq K(T)$  mit  ${}Q(R)=K(T)$  und mit  ${}R\cap K[T]=K$. 

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu ${}1+T$ an.

Aufgabe

Bestimme für das Polynom  ${}F=Z^{2}+1$  die Potenzreihe zu ${}{\frac {1}{F}}$ bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}R=K[\![T]\!]$  der Potenzreihenring Zeige, dass es in ${}R$ keine Quadratwurzel für ${}T$ gibt. Zeige ferner, dass für  ${}K=\mathbb {Z} /(7)$  das Element ${}T+2$ eine Quadratwurzel in ${}R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil ist eine unendliche Summe der Form

$F=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}T^{n}{\text{ mit }}a_{n}\in K{\text{ und }}k\in \mathbb {Z} .$

Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen (mit geeigneten Ringoperationen) isomorph zum Quotientenkörper des Potenzreihenringes ${}K[\![T]\!]$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass man die konstante Potenzreihe  ${}G=1$  nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich ${}c_{4}$) der eingesetzten Potenzreihe ${}F(G)$ im Sinne von Definition 9.18.

Aufgabe

Bestimme für das Polynom

${}(S-1)^{2}-1=S^{2}-2S\,$

über ${}\mathbb {Q}$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung ${}4$.

Aufgabe

Berechne zum Polynom  ${}G=2S^{3}+S^{2}+S$  über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(3)$ die Koeffizienten ${}a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}$ der Potenzreihe

${}F=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\,$

mit  ${}F(G)=S$. 

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in K[\![S]\!]$  eine formale Potenzreihe mit $b_{0}=0$ und $b_{1}=1$, die wir als  ${}G=S+S^{2}H(S)$  schreiben. Es sei  ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\in K[[T]]$  die Potenzreihe mit  ${}F(G)=S$  und  ${}G(F)=T$.  Zeige  ${}F=T-F^{2}\cdot H(F)$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kosinusreihe die Potenzreihe zu ${}{\frac {1}{\cos z}}$ bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${}(S-1)^{3}+1=S^{3}-3S^{2}+3S\,$

über ${}\mathbb {Q}$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung ${}4$.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne zum Polynom  ${}G=3S^{4}+S^{3}+2S^{2}+3S$  über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$ die Koeffizienten ${}a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ der Potenzreihe

${}F=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\,$

mit  ${}F(G)=S$.