Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/25/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	$\sum$
Punkte	3	3	1	1	5	4	8	3	4	2	1	3	3	6	0	3	2	0	4	0	4	60

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen $L$ und $M$.
2. Eine injektive Abbildung

   $f:L⟶M.$

3. Die $n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl $a$.
4. Ein kommutativer Ring $R$.
5. Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen $a,b$ mit  $b\ne 0$. 
6. Ein gemischter Bruch.

Lösung

1. Die Menge

   $L\cup M=\{x\mid x\in L\text{ oder }x\in M\}$

   heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

2. Die Abbildung

   $f:L⟶M$

   ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente $x,y\in L$ auch $f(x)$ und $f(y)$ verschieden sind.

3. Unter der $n$-ten Potenz von $a$ versteht man die $n$-fache Multiplikation von $a$ mit sich selbst

   $a\cdot a\cdots a\cdot a$

   ($n$ Faktoren).

4. Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
5. Man nennt die durch die Anfangsbedingungen $r_0=a$ und $r_1=b$ und die mittels der Division mit Rest

   $r_i=q_i{r}_{i+1}+r_{i+2}$

   rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die Folge der euklidischen Reste.

6. Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

   $n\frac{a}{b}$

   mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer rationalen Zahl $\frac{a}{b}$ mit $a,b\in {\mathbb{N}}_{+}$ und $a<b$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
3. Der Satz über die algebraische Struktur von $\mathbb{Q}$.

Lösung

1. Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte
   1. $A(0)$ ist wahr.
   2. Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.
   Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.
2. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
3. Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ erfüllen die folgenden Eigenschaften.
   1. Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $0$ als neutralem Element. Zu jedem $x\in \mathbb{Q}$ gibt es ein $y\in \mathbb{Q}$ mit

      $x+y=0.$

   2. Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit $1$ als neutralem Element. Zu jedem $z\in \mathbb{Q}$ , $z\ne 0$, gibt es ein $w\in \mathbb{Q}$ mit

      $z\cdot w=1.$

   3. Es gilt das Distributivgesetz.

Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe Beispiele für mathematische Symbole, die

1. immer in der gleichen Bedeutung,
2. in variierender Bedeutung,

eingesetzt werden.

Lösung erstellen

Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.

Lösung

Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.

Aufgabe (5 Punkte)

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jeden Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?

Lösung

Da insbesondere der Betrag $1$ beglichen werden kann, muss es eine $1$-Riggating-Münze geben. Den Nennbetrag der zweiten Riggating-Münze nennen wir  $d>1$.  Wir behaupten, dass man die Darstellung des Riggating-Preises $n$ mit der minimalen Anzahl von Münzen findet, wenn man

$n=sd+r$

mit $r$ zwischen $0$ und $d-1$ berechnet. Die Münzanzahl ist dann $s+r$. Die Darstellung kann man erhalten, indem man solange $d$-Münzen anhäuft, solange man unterhalb von $n$ bleibt, mit der nächsten zusätzlichen $d$-Münze wäre man also schon drüber. Was dann noch fehlt füllt man mit $1$-Münzen auf. Zum Nachweis der Eindeutigkeit: Es sei

$n=td+u$

eine weitere Darstellung mit

$t\ne s.$

Wir behaupten zunächst

$t<s.$

Denn andernfalls wäre

$t>s,$

also

$t\ge s+1,$

und dann wäre

$td+u\ge (s+1)d=sd+d>sd+r=n,$

das wäre also keine Darstellung von $n$.

Für die Anzahl der in der zweiten Darstellung verwendeten Münzen gilt somit (dafür sei $n\ne 1$)

$t+u=t+n-td=n-t(d-1)>n-s(d-1)=s+n-sd=s+r.$

Bei  $n=1$  ist die Darstellung sowieso eindeutig.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die durch die Tabelle

Erreichte Punktzahl	Note
0-15,5	nicht bestanden
16-17	4
17,5-19	3,7
19,5-21	3,3
21,5-22,5	3
23-24,5	2,7
25-26	2,3
26,5-28	2
28,5-30	1,7
30,5-31,5	1,3
32-64	1

gegebene Abbildung $\phi$ zwischen der Menge $P$ der möglichen Punkte (von $0$ bis $64$ in Halbpunkteschritten) in die Menge $N$ der möglichen Noten (von $1$ bis $4$ in Drittelschritten und „nicht bestanden“).

1. Bestimme die Anzahl von $P$.
2. Bestimme die Anzahl von $N$.
3. Ist die Abbildung

   $\phi :P⟶N$

   surjektiv?

4. Ist die Abbildung

   $\phi :P⟶N$

   injektiv?

5. Es sei nun $L$ die Menge der Leute, die in einer Klausur teilnehmen und

   $\psi :L⟶P$

   sei die Abbildung, die jeder Person ihre erzielte Punkteanzahl zuordnet. Was bedeutet die Hintereinanderschaltung $\phi \circ \psi$?

6. Es sei nun spezieller

   $L=\{\text{An},\text{Besi},\text{Cu},\text{Do},\text{Elf},\text{Fi},\text{Go},\text{Ha},\text{Jod},\text{Ka},\text{Mimi},\text{No},\text{Ulf}\}$

   die Menge der Personen, die die Klausur schrieben. Ihre erzielten Punkte werden durch die folgende Tabelle beschrieben.

   $x$	$\text{An}$	$\text{Besi}$	$\text{Cu}$	$\text{Do}$	$\text{Elf}$	$\text{Fi}$	$\text{Go}$	$\text{Ha}$	$\text{Jod}$	$\text{Ka}$	$\text{Mimi}$	$\text{No}$	$\text{Ulf}$
   $\psi (x)$	$21$	$23$	$12$	$19,5$	$32,5$	$25$	$28$	$18$	$20$	$31,5$	$32$	$17$	$29$

   Ist die Abbildung $\psi$ injektiv?

7. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung $\phi \circ \psi$ surjektiv?
8. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung $\phi \circ \psi$ injektiv?

Lösung

1. Die Anzahl der möglichen Punktwerte ist

   $64+64+1=129.$

2. Es gibt $11$ mögliche Notenwerte.
3. $\phi$ ist surjektiv, da jede Note durch die links stehenden Punktewerte erreicht wird.
4. $\phi$ ist nicht injektiv, da beispielsweise die Punktewerte $32$ und $64$ beide die Note $1$ ergeben.
5. Jeder Person wird die in der Klausur erzielte Note zugeordnet.
6. Die Abbildung $\psi$ ist injektiv, da jeder erzielte Punktewert nur einmal erreicht wird (das sieht man, wenn man die Leute gemäß ihrer Leistung ordnet).
7. Die Abbildung $\phi \circ \psi$ ist nicht injektiv, da sowohl Elfi als auch Mimi eine $1$ bekommen.
8. Die Abbildung $\phi \circ \psi$ ist nicht surjektiv, da der Punktebereich zwischen $21,5$ und $22,5$ nicht vorkommt und daher niemand die Note $3$ bekommt.

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.

Lösung

Da die Abbildung $\phi$ insbesondere die Null respektieren soll, muss

$\phi \left(0_1\right)=0_2$

sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, gilt generell

$\phi \left(x^{\prime }\right)=(\phi (x){)}^{\star }$

für alle  $x\in N_1$.  Speziell gilt

$\phi \left(0_1^{\prime }\right)={(\phi (0_1))}^{\star }=0_2^{\star }.$

Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen

$\phi \left(0_1^{\prime \prime }\right)=\phi \left({\left(0_1^{\prime }\right)}^{\prime }\right)={\left(\phi \left(0_1^{\prime }\right)\right)}^{\star }={\left(0_2^{\star }\right)}^{\star }=0_2^{\star \star }.$

Ebenso muss

$\phi \left(0_1^{\prime \prime \prime }\right)=0_2^{\star \star \star },$

$\phi \left(0_1^{\prime \prime \prime \prime }\right)=0_2^{\star \star \star \star },$

u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element $\ne 0_1$ aus $N_1$ von $0_1$ aus durch die Nachfolgerabbildung $\prime$ schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von $N_1$ nach $N_2$.

Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge

$T=\{y\in N_2\mid \text{ Es gibt }x\in N_1\text{ mit }y=\phi (x)\}.$

Wir müssen zeigen, dass

$T=N_2$

ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für $N_2$ an. Wegen

$\phi \left(0_1\right)=0_2$

gehört  $0_2\in T$.  Wenn  $y\in T$  ist, so ist also

$y=\phi (x)$

für ein  $x\in N_1$.  Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist

$y^{\star }=\phi \left(x^{\prime }\right),$

d.h. auch  $y^{\star }\in T$.  Daher ist $T$ unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also  $T=N_2$.  Zum Nachweis der Injektivität seien  $x,\tilde{x}\in N_1$  verschieden, und zwar sei $\tilde{x}$ ein (direkter oder) höherer Nachfolger von $x$. Dann ist $\phi \left(\tilde{x}\right)$ der entsprechende Nachfolger von $\phi (x)$ und insbesondere davon verschieden (siehe Aufgabe 8.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027))), da das Nachfolgernehmen in $N_2$ injektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $R=𝔓(M)$  die Potenzmenge zu einer Menge $M$. Zeige, dass $R$ mit der Vereinigung $\cup$ als Addition und der leeren Menge als $0$ und mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der Gesamtmenge $M$ als $1$ ein kommutativer Halbring ist.

Lösung

Die Eigenschaften sind allenfalls bis auf das Distributivgesetz klar. Letzteres besagt die Identität

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).$

Wenn ein Element $x$ links dazugehört, so gehört es zu $A$ und es gehört zu $B\cup C$. Somit gehört es zu $B$ oder zu $C$ und damit auch zu $A\cap B$ oder zu $A\cap C$, also jedenfalls zur rechten Seite. Wenn es rechts dazu gehört, sagen wir zu $A\cap B$, was wir wegen der Symmetrie der Situation annehmen können, so gehört es erst recht zu $A\cap (B\cup C)$.

Aufgabe (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Verknüpfung

$\mathbb{N}\times \mathbb{N}⟶\mathbb{N},(a,b)⟼a\ast b,$

die einem Paar $(a,b)$ diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man im Zehnersystem die Zahl $b$ $a$-fach hintereinander schreibt.

1. Bestimme $7\ast 6$.
2. Bestimme $4\ast 13$.
3. Ist die Verknüpfung kommutativ?
4. Ist die Verknüpfung assoziativ?
5. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?

Lösung

1. Es ist

   $7\ast 6=6666666.$

2. Es ist

   $4\ast 13=13131313.$

3. Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, es ist  $2\ast 1=11$,  aber  $1\ast 2=2$. 
4. Die Verknüpfung ist nicht assoziativ, es ist  $2\ast (2\ast 2)=2\ast (22)=2222$,  aber  $(2\ast 2)\ast 2=22\ast 2$  besteht aus $22$ Zweien.
5. Die Verknüpfung besitzt kein neutrales Element. Von links ist zwar  $1\ast b=b$,  daher ist $1$ der einzige Kandidat, von rechts ist aber im Allgemeinen (beispielsweise für $b=2$)

   $b\ast 1\ne b.$

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige

$10!=(7!)\cdot (6!).$

Lösung

Es ist

$\begin{array}{cc}10!& =10\cdot 9\cdot 8\cdot (7!)\\ & =2\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 2\cdot (7!)\\ & =(2\cdot 3)\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot (7!)\\ & =(6!)\cdot (7!).\end{array}$

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ und $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})$ der Zusammenhang

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot \frac{n-k}{k+1}$

besteht.

Lösung

Es ist

$\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})& =\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+2)\cdot (n-k+1)\cdot (n-k)}{(k+1)\cdot k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdots 2\cdot 1}\\ & =\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+2)\cdot (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdots 2\cdot 1}\cdot \frac{n-k}{k+1}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot \frac{n-k}{k+1}.\end{array}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es ist

$11^1=11,$

$11^2=121,$

$11^3=1331,$

$11^4=14641,$

$11^5=161051\ne 15101051.$

Bringe diese Ergebnisse in Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz und mit dem Pascalschen Dreieck.

Lösung erstellen

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit

$V^{2a}(a)=-a$

für  $a\in \mathbb{N}$  durch Induktion über $a$.

Lösung

Der Induktionsanfang für  $a=0$  ist klar, da die $0$-te Iteration einer bijektiven Abbildung als Identität zu verstehen ist. Somit ist

$V^0(0)=0=-0.$

Sie die Aussage nun für $a$ schon bewiesen. Dann ergibt sich die Aussage für $a+1$ aus

$\begin{array}{cc}{V}^{2(a+1)}(a+1)& =V^{2a+2}(a+1)\\ & =(V\circ V^{2a}\circ V)(a+1)\\ & =(V\circ V^{2a})(V(a+1))\\ & =(V\circ V^{2a})(a)\\ & =V(V^{2a}(a))\\ & =V(-a)\\ & =-a-1.\end{array}$

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bézout für teilerfremde natürliche Zahlen $a$ und $b$ durch Induktion über das Maximum von $a$ und $b$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von $a$ und $b$, wobei wir ohne Einschränkung  $a\le b$  wählen können. Wenn das Maximum $0$ ist, so sind beide Zahlen $0$ und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum $1$ ist, so ist  $b=1$  und somit ergeben  $r=0$  und  $s=1$  eine Darstellung der $1$. Es seien nun  $a\le b$  teilerfremd,  $b\ge 2$  und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als $b$ sind, schon bewiesen. Dann ist  $a<b$,  da bei  $a=b$  die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir  $a=0$  ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar $(a,b-a)$ und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als $b$. Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich angewendet werden kann, wissen, dass auch $a$ und $b-a$ teilerfremd sind. Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis.  Nehmen wir also an, dass $a$ und $b-a$ nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine natürliche Zahl  $t\ge 2$,  die sowohl $a$ als auch $b-a$ teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen $m,n$ mit $a=mt$ und $b-a=nt$ gibt. Doch dann ist

$b=(b-a)+a=nt+mt=(n+m)t$

ebenfalls ein Vielfaches von $t$, im Widerspruch zur Teilerfremdheit von $a$ und $b$.  Die Induktionsvoraussetzung ist also auf $a$ und $b-a$ anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen $r,s$ mit

$ra+s(b-a)=1.$

Dann ist aber auch

$(r-s)a+sb=ra+s(b-a)=1$

und wir haben eine Darstellung der $1$ mit $a$ und $b$ gefunden.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (3 Punkte)

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge $1,085$ Zentimeter beträgt. Gold wiegt $19,3$ Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. $50.000$ Euro im Jahr $2020$. Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?

Lösung

Es ist

$1,085^3=1,277,$

das ist die Goldmenge pro Person in Kubikzentimetern. In Gramm ist dies

$1,277\cdot 19,3=24,646.$

Ein Gramm ist $50$ Euro wert, also besitzt jede Person

$24,646\cdot 50=1232,3$

Euro in Gold.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und  $x\in K$  ein Element mit  $x\ne 1$.  Beweise für  $n\in \mathbb{N}$  durch Induktion die Beziehung

$\sum _{k=0}^n{x}^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}.$

Lösung

Für  $n=0$  steht beidseitig $1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes $n$ bewiesen. Dann ist

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^{n+1}{x}^k& =\sum _{k=0}^n{x}^k+x^{n+1}\\ & =\frac{x^{n+1}-1}{x-1}+x^{n+1}\\ & =\frac{x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}\\ & =\frac{x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}\\ & =\frac{x^{n+2}-1}{x-1},\end{array}$

was die Behauptung für $n+1$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

$|2x-3|\ge |5x-7|$

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen $|2x-3|$ und $|5x-7|$.

Lösung

Entscheidend sind die beiden Grenzen $\frac{3}{2}$ und $\frac{7}{5}$ mit

$\frac{7}{5}<\frac{3}{2}.$

Wenn

$x\le \frac{7}{5}$

ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung

$-(2x-3)\ge -(5x-7)$

und damit zu

$2x-3\le 5x-7$

und zu

$4\le 3x,$

also

$x\ge \frac{4}{3}.$

Das Intervall $[\frac{4}{3},\frac{7}{5}]$ gehört also zur Lösungsmenge. Es sei nun

$\frac{7}{5}\le x\le \frac{3}{2}.$

Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung

$-(2x-3)\ge 5x-7$

und damit zu

$-2x+3\ge 5x-7$

und zu

$10\ge 7x,$

also

$x\le \frac{10}{7}.$

Es ist

$\frac{7}{5}\le \frac{10}{7}\le \frac{3}{2}$

und somit gehört das Intervall $[\frac{7}{5},\frac{10}{7}]$ zur Lösungsmenge. Es sei nun

$x\ge \frac{3}{2}.$

Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung

$2x-3\ge 5x-7$

führt auf

$x\le \frac{4}{3},$

was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall

$[\frac{4}{3},\frac{10}{7}].$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (4 Punkte)

Jede natürliche Zahl  $n\ge 1$  besitzt einerseits eine eindeutige Darstellung im Zehnersystem und andererseits eine eindeutige kanonische Primfaktorzerlegung. Beschreibe Vor- und Nachteile der beiden Darstellungen.

Lösung erstellen