Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/25/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	5	4	0	3	3	2	0	0	3	2	0	0	4	0	0	4	0	37

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Die ${}n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl ${}a$.
4. Ein kommutativer Ring ${}R$.
5. Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$.
6. Ein gemischter Bruch.

Lösung

1. Die Menge

   ${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

   heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

2. Die Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in L$ auch ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden sind.

3. Unter der ${}n$-ten Potenz von ${}a$ versteht man die ${}n$-fache Multiplikation von ${}a$ mit sich selbst

   $a\cdot a\cdots a\cdot a$

   (${}n$ Faktoren).

4. Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
5. Man nennt die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

   ${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

   rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

6. Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

   $n{\frac {a}{b}}$

   mit einer natürlichen Zahl ${}n$ und einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a<b$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.

Lösung

Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.

Aufgabe (5 Punkte)

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?

Lösung

Da insbesondere der Betrag ${}1$ beglichen werden kann, muss es eine ${}1$-Riggating-Münze geben. Den Nennbetrag der zweiten Riggating-Münze nennen wir ${}d>1$. Wir behaupten, dass man die Darstellung des Riggating-Preises ${}n$ mit der minimalen Anzahl von Münzen findet, wenn man

${}n=sd+r\,$

mit ${}r$ zwischen ${}0$ und ${}d-1$ berechnet. Die Münzanzahl ist dann ${}s+r$. Die Darstellung kann man erhalten, indem man solange ${}d$-Münzen anhäuft, solange man unterhalb von ${}n$ bleibt, mit der nächsten zusätzlichen ${}d$-Münze wäre man also schon drüber. Was dann noch fehlt füllt man mit ${}1$-Münzen auf. Zum Nachweis der Eindeutigkeit: Es sei

${}n=td+u\,$

eine weitere Darstellung mit

${}t\neq s\,.$

Wir behaupten zunächst

${}t<s\,.$

Denn andernfalls wäre

${}t>s\,,$

also

${}t\geq s+1\,,$

und dann wäre

${}td+u\geq (s+1)d=sd+d>sd+r=n\,,$

das wäre also keine Darstellung von ${}n$.

Für die Anzahl der in der zweiten Darsttellung verwendeten Münzen gilt somit (dafür sei ${}n\neq 1$)

${}t+u=t+n-td=n-t(d-1)>n-s(d-1)=s+n-sd=s+r\,.$

Bei ${}n=1$ ist die Darstellung sowieso eindeutig.

Aufgabe weiter

Wir betrachten die durch die Tabelle

Erreichte Punktzahl	Note
0-15,5	nicht bestanden
16-17	4
17,5-19	3,7
19,5-21	3,3
21,5-22,5	3
23-24,5	2,7
25-26	2,3
26,5-28	2
28,5-30	1,7
30,5-31,5	1,3
32-64	1

gegebene Abbildung ${}\varphi$ zwischen der Menge ${}P$ der möglichen Punkte (von ${}0$ bis ${}64$ in Halbpunkteschritten) in die Menge ${}N$ der möglichen Noten (von ${}1$ bis ${}4$ in Drittelschritten und „nicht bestanden“).

1. Bestimme die Anzahl von ${}P$.
2. Bestimme die Anzahl von ${}N$.
3. Ist die Abbildung

   $\varphi \colon P\longrightarrow N$

   surjektiv?

4. Ist die Abbildung

   $\varphi \colon P\longrightarrow N$

   injektiv?

5. Es sei nun ${}L$ die Menge der Leute, die in einer Klausur teilnehmen und

   $\psi \colon L\longrightarrow P$

   sei die Abbildung, die jeder Person ihre erzielte Punkteanzahl zuordnet. Was bedeutet die Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$?

6. Es sei nun spezieller

   ${}L=\{{\text{An}},{\text{Besi}},{\text{Cu}},{\text{Do}},{\text{Elf}},{\text{Fi}},{\text{Go}},{\text{Ha}},{\text{Jod}},{\text{Ka}},{\text{Mimi}},{\text{No}},{\text{Ulf}}\}\,$

   die Menge der Personen, die die Klausur schrieben. Ihre erzielten Punkte werden durch die folgende Tabelle beschrieben.

   ${}x$

   ${}{\text{An}}$

   ${}{\text{Besi}}$

   ${}{\text{Cu}}$

   ${}{\text{Do}}$

   ${}{\text{Elf}}$

   ${}{\text{Fi}}$

   ${}{\text{Go}}$

   ${}{\text{Ha}}$

   ${}{\text{Jod}}$

   ${}{\text{Ka}}$

   ${}{\text{Mimi}}$

   ${}{\text{No}}$

   ${}{\text{Ulf}}$

   ${}\psi (x)$

   ${}21$

   ${}23$

   ${}12$

   ${}19,5$

   ${}32,5$

   ${}25$

   ${}28$

   ${}18$

   ${}20$

   ${}31,5$

   ${}32$

   ${}17$

   ${}29$

   Ist die Abbildung ${}\psi$ injektiv?

7. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung ${}\varphi \circ \psi$ surjektiv?
8. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung ${}\varphi \circ \psi$ injektiv?

Lösung

1. Die Anzahl der möglichen Punktwerte ist

   ${}64+64+1=129\,.$

2. Es gibt ${}11$ mögliche Notenwerte.
3. ${}\varphi$ ist surjektiv, da jede Note durch die links stehenden Punktewerte erreicht wird.
4. ${}\varphi$ ist nicht injektiv, da beispielsweise die Punktewerte ${}32$ und ${}64$ beide die Note ${}1$ ergeben.
5. Jeder Person wird die in der Klausur erzielte Note zugeordnet.
6. Die Abbildung ${}\psi$ ist injektiv, da jeder erzielte Punktewert nur einmal erreicht wird (das sieht man, wenn man die Leute gemäß ihrer Leistung ordnet).
7. Die Abbildung ${}\varphi \circ \psi$ ist nicht injektiv, da sowohl Elfi als auch Mimi eine ${}1$ bekommen.
8. Die Abbildung ${}\varphi \circ \psi$ ist nicht surjektiv, da der Punktebereich zwischen ${}21,5$ und ${}22,5$ nicht vorkommt und daher niemand die Note ${}3$ bekommt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit

${}V^{2a}(a)=-a\,$

für ${}a\in \mathbb {N}$ durch Induktion über ${}a$.

Lösung

Der Induktionsanfang für ${}a=0$ ist klar, da die ${}0$-te Iteration einer bijektiven Abbildung als Identität zu verstehen ist. Somit ist

${}V^{0}(0)=0=-0\,.$

Sie die Aussage nun für ${}a$ schon bewiesen. Dann ergibt sich die Aussage für ${}a+1$ aus

${}{\begin{aligned}V^{2(a+1)}(a+1)&=V^{2a+2}(a+1)\\&={\left(V\circ V^{2a}\circ V\right)}(a+1)\\&={\left(V\circ V^{2a}\right)}(V(a+1))\\&={\left(V\circ V^{2a}\right)}(a)\\&=V{\left(V^{2a}(a)\right)}\\&=V(-a)\\&=-a-1.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R={\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge zu einer Menge ${}M$. Zeige, dass ${}R$ mit der Vereinigung ${}\cup$ als Addition und der leeren Menge als ${}0$ und mit dem Durchschnitt ${}\cap$ als Multiplikation und der Gesamtmenge ${}M$ als ${}1$ ein kommutativer Halbring ist.

Lösung

Die Eigenschaften sind allenfalls bis auf das Distributivgesetz klar. Letzteres besagt die Identität

${}A\cap (B\cup C)={\left(A\cap B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}\,.$

Wenn ein Element ${}x$ links dazugehört, so gehört es zu ${}A$ und es gehört zu ${}B\cup C$. Somit gehört es zu ${}B$ oder zu ${}C$ und damit auch zu ${}A\cap B$ oder zu ${}A\cap C$, also jedenfalls zur rechten Seite. Wenn es rechts dazu gehört, sagen wir zu ${}A\cap B$, was wir wegen der Symmetrie der Situation annehmen können, so gehört es erst recht zu ${}A\cap (B\cup C)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige

${}10!=(7!)\cdot (6!)\,.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}10!&=10\cdot 9\cdot 8\cdot (7!)\\&=2\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 2\cdot (7!)\\&=(2\cdot 3)\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot (7!)\\&=(6!)\cdot (7!).\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge ${}1,085$ Zentimeter beträgt. Gold wiegt ${}19,3$ Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. ${}50.000$ Euro im Jahr ${}2020$. Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?

Lösung

Es ist

${}1,085^{3}=1,277\,,$

das ist die Goldmenge pro Person in Kubikzentimetern. In Gramm ist dies

${}1,277\cdot 19,3=24,646\,.$

Ein Gramm ist ${}50$ Euro wert, also besitzt jede Person

${}24,646\cdot 50=1232,3\,$

Euro in Gold.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}x\in K$ ein Element mit ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Lösung

Für ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes ${}n$ bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}$

was die Behauptung für ${}n+1$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

${}\vert {2x-3}\vert \geq \vert {5x-7}\vert \,$

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen ${}\vert {2x-3}\vert$ und ${}\vert {5x-7}\vert$.

Lösung

Entscheidend sind die beiden Grenzen ${}{\frac {3}{2}}$ und ${}{\frac {7}{5}}$ mit

${}{\frac {7}{5}}<{\frac {3}{2}}\,.$

Wenn

${}x\leq {\frac {7}{5}}\,$

ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung

${}-(2x-3)\geq -(5x-7)\,$

und damit zu

${}2x-3\leq 5x-7\,$

und zu

${}4\leq 3x\,,$

also

${}x\geq {\frac {4}{3}}\,.$

Das Intervall ${}[{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}}]$ gehört also zur Lösungsmenge. Es sei nun

${}{\frac {7}{5}}\leq x\leq {\frac {3}{2}}\,.$

Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung

${}-(2x-3)\geq 5x-7\,$

und damit zu

${}-2x+3\geq 5x-7\,$

und zu

${}10\geq 7x\,,$

also

${}x\leq {\frac {10}{7}}\,.$

Es ist

${}{\frac {7}{5}}\leq {\frac {10}{7}}\leq {\frac {3}{2}}\,$

und somit gehört das Intervall ${}[{\frac {7}{5}},{\frac {10}{7}}]$ zur Lösungsmenge. Es sei nun

${}x\geq {\frac {3}{2}}\,.$

Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung

${}2x-3\geq 5x-7\,$

führt auf

${}x\leq {\frac {4}{3}}\,,$

was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall

$[{\frac {4}{3}},{\frac {10}{7}}].$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ besitzt einerseits eine eindeutige Darstellung im Zehnersystem und andererseits eine eindeutige kanonische Primfaktorzerlegung. Beschreibe Vor- und Nachteile der beiden Darstellungen.

Lösung Natürliche Zahl/Zehnersystem/Primfaktorzerlegung/Vorteile/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung