Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/25/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 5 4 4 2 1 3 1 5 2 8 3 3 0 4 4 3 59




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Eine injektive Abbildung
  3. Die -te Potenz zu einer natürlichen Zahl .
  4. Ein kommutativer Ring .
  5. Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen mit .
  6. Ein gemischter Bruch.


Lösung

  1. Die Menge

    heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

  2. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  3. Unter der -ten Potenz von versteht man die -fache Multiplikation von mit sich selbst

    ( Faktoren).

  4. Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
  5. Man nennt die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

    rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.

  6. Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

    mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.


Lösung

Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.


Aufgabe (5 Punkte)

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?


Lösung

Da insbesondere der Betrag beglichen werden kann, muss es eine -Riggating-Münze geben. Den Nennbetrag der zweiten Riggating-Münze nennen wir . Wir behaupten, dass man die Darstellung des Riggating-Preises mit der minimalen Anzahl von Münzen findet, wenn man

mit zwischen und berechnet. Die Münzanzahl ist dann . Die Darstellung kann man erhalten, indem man solange -Münzen anhäuft, solange man unterhalb von bleibt, mit der nächsten zusätzlichen -Münze wäre man also schon drüber. Was dann noch fehlt füllt man mit -Münzen auf. Zum Nachweis der Eindeutigkeit: Es sei

eine weitere Darstellung mit

Wir behaupten zunächst

Denn andernfalls wäre

also

und dann wäre

das wäre also keine Darstellung von .

Für die Anzahl der in der zweiten Darsttellung verwendeten Münzen gilt somit (dafür sei )

Bei ist die Darstellung sowieso eindeutig.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine endliche Menge mit Elementen und sei ein Element, das nicht zu gehöre. Zeige, dass dann die Vereinigung genau Elemente besitzt.


Lösung

Wenn leer ist, so besteht die Vereinigungsmenge nur aus dem einzigen Element und steht somit in Bijektion zu . Allgemein liegt eine bijektive Abbildung

vor. Wir definieren eine Abbildung

durch

Dies ist wohldefiniert. Die Abbildung ist surjektiv, da alle Elemente aus durch Elemente aus getroffen werden und da durch getroffen wird. Die Abbildung ist auch injektiv. Wenn nämlich aus der Definitionsmenge sind, so ist, wenn beide zu gehören, direkt

Wenn hingegen ist, so ist und


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Lösung

  1. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist nicht injektiv, da zweifach getroffen wird, und nicht surjektiv, da nicht getroffen wird.
  2. Es handelt sich um keine Abbildung, da für die kein Wert festgelegt ist.
  3. Es handelt sich um eine Abbildung. Sie ist injektiv, aber nicht surjektiv (und somit nicht bijektiv), da nicht getroffen wird.
  4. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.


Aufgabe (2 Punkte)

Jemand bemerkt zur Division mit Rest: „Wegen kann man aus dem Rest der Divison durch direkt den Rest der Divison durch ablesen“. Was ist davon zu halten?


Lösung

Das stimmt nicht. Zwar stimmen für beide Divisionen die Gleichungen überein, allerdings sind die Restbedingungen bzw. verschieden.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie (neben einem Torwart) mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren.

  1. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es?
  2. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll?
  3. Wildberg geht in der Minute mit in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechlungsmöglichkeiten gibt es dafür?


Lösung

  1. Es gibt
    Möglichkeiten, die Mannschaft aufzustellen.
  2. Es gibt Möglichkeiten, die Mannschaft aufzustellen und dabei einen Kapitän festzulegen.
  3. Es sind drei Angreifer auf dem Platz und drei Verteidiger auf der Bank. Also gibt es

    Auswechselmöglichkeiten.


Aufgabe (1 Punkt)

Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 (erster Ferientag) und endeten am 6.1.2016 (letzter Ferientag). Wie lange dauerten die Ferien?


Lösung

Tage.


Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einer maximal zweistelligen Zahl (im Zehnersystem) diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man Einer- und Zehnerziffern vertauscht (einstellige Zahlen sind dabei als zu verstehen).

  1. Ist die Abbildung bijektiv?
  2. Wie nennt man die Zahlen mit
  3. Ziehe von den beiden Zahlen und die kleinere (im Sinne von kleinergleich) von der größeren ab. Was sieht das Ergebnis im Zehnersystem aus? Was ist seine Quersumme?
  4. Es sei diejenige Zahl, die im Dreiersystem als gegeben ist. Wie lautet im Dreiersystem?


Lösung

  1. Wenn man die Ziffern vertauscht und dann nochmal vertauscht, so erhält man die Ausgangszahl zurück. Daher ist

    und somit ist die Abbildung bijektiv.

  2. Dies sind die Zahlen der Form , diese nennt man Schnappszahlen.
  3. Sei

    mit . Dann ist

    Ohne Einschränkung sei

    also

    Dann ist

    Bei steht hier . Bei steht hinten eine negative Einerziffer, deshalb ist die korrekte Zifferndarstellung aus

    ablesbar. Die Quersumme ist

  4. Es ist

    Dies wird unter auf abgebildet, und wegen

    ist diese Zahl im Dreiersystem gleich .


Aufgabe (2 Punkte)

Begründe, dass bei der Multiplikation einer Zahl (im Dezimalsystem) mit die Ziffer des Produktes nur von den drei Ziffern abhängt, aber im Allgemeinen nicht nur von den zwei Ziffern .


Lösung Multiplikationsalgorithmus/Mit 4/Stellenabhängigkeit/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (8 (1+2+3+2) Punkte)

Wir betrachten eine (einfachere, aber langsamere) Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen .

Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn ist, so ersetzte das Paar durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis ausgegeben.

  1. Führe diesen Algorithmus für das Paar durch.
  2. Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
  3. Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
  4. Man gebe für jedes ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante Schritte benötigt.


Lösung

  1. Der Algorithmus ersetzt sukzessive

    der größte gemeinsame Teiler ist also .

  2. Wenn ist, so hört der Algorithmus auf. Wenn genau eine Zahl ist, so ist das Folgepaar und dann hört der Algorithmus auf. Sei also ohne Einschränkung

    Das Folgepaar ist dann und beide Zahlen sind kleiner als . D.h. unter dieser Voraussetzung wird das Maximum mit jedem Rechenschritt kleiner. Da sich alles innerhalb der natürlichen Zahlen abspielt, bricht das Verfahren irgendwann ab.

  3. Bei ist diese Zahl auch der größte gemeinsame Teiler. Wir zeigen, dass sich bei jedem Rekursionsschritt, bei dem (es sei wieder ) durch ersetzt wird, der größte gemeinsame Teiler der beiden Paare übereinstimmt. Dazu muss man nur zeigen, dass und einerseits und und andererseits die gleichen gemeinsamen Teiler haben. Sei also und und . Dann ist

    ebenfalls ein Vielfaches von . Wenn umgekehrt und ist, so ist

    ebenfalls ein Vielfaches von .

  4. Wir betrachten das Paar . Der eukldische Algorithmus liefert

    und ist fertig. Die Variante ersetzt durch , sie braucht also Schritte, um die Abbruchbedingung zu erreichen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit

für durch Induktion über .


Lösung

Der Induktionsanfang für ist klar, da die -te Iteration einer bijektiven Abbildung als Identität zu verstehen ist. Somit ist

Sie die Aussage nun für schon bewiesen. Dann ergibt sich die Aussage für aus


Aufgabe (3 Punkte)

Die Zahlen

werden abwechselnd mit einem oder keinem Minuszeichen versehen, wobei kein Minuszeichen bekommt. Was ist die Summe dieser Zahlen?


Lösung

Zwei in einer solchen Reihe aufeinanderfolgende Zahlen ergeben

Ein solches Paar trägt also mit zur Gesamtsumme bei. Wenn gerade ist, so gibt es solche Paare und die Gesamtsumme ist . Wenn ungerade ist, so gibt es solche Paare sowie die letzte alleinstehende Zahl , die positiv eingeht. Also ist die Gesamtsumme in diesem Fall gleich


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige

durch vollständige Induktion ().


Lösung

Induktionsanfang. Für steht links

und rechts ebenfalls

Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Gleichheit für ein bestimmtes gilt. Dann ist

Dies ist der rechte Ausdruck für und die Aussage ist bewiesen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen und .


Lösung

Entscheidend sind die beiden Grenzen und mit

Wenn

ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung

und damit zu

und zu

also

Das Intervall gehört also zur Lösungsmenge. Sei nun

Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung

und damit zu

und zu

also

Es ist

und somit gehört das Intervall zur Lösungsmenge. Sei nun

Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung

führt auf

was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall


Aufgabe (3 Punkte)

„Eine neue Abstraktionsstufe ist immer auch eine neue Reflexionsstufe“. Äußern Sie sich zu dieser Behauptung!


Lösung Abstraktionsstufe/Reflexionsstufe/Aufgabe/Lösung