Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/25/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 5 4 0 3 3 2 0 0 3 2 0 0 4 0 0 4 0 37




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Eine injektive Abbildung
  3. Die -te Potenz zu einer natürlichen Zahl .
  4. Ein kommutativer Ring .
  5. Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen mit .
  6. Ein gemischter Bruch.


Lösung

  1. Die Menge

    heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

  2. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  3. Unter der -ten Potenz von versteht man die -fache Multiplikation von mit sich selbst

    ( Faktoren).

  4. Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
  5. Man nennt die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

    rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.

  6. Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

    mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.


Lösung

Martina findet Markus zuckersüß oder es gibt im Kurs einen von Markus verschiedenen Jungen, den sie nicht zuckersüß findet.


Aufgabe (5 Punkte)

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?


Lösung

Da insbesondere der Betrag beglichen werden kann, muss es eine -Riggating-Münze geben. Den Nennbetrag der zweiten Riggating-Münze nennen wir . Wir behaupten, dass man die Darstellung des Riggating-Preises mit der minimalen Anzahl von Münzen findet, wenn man

mit zwischen und berechnet. Die Münzanzahl ist dann . Die Darstellung kann man erhalten, indem man solange -Münzen anhäuft, solange man unterhalb von bleibt, mit der nächsten zusätzlichen -Münze wäre man also schon drüber. Was dann noch fehlt füllt man mit -Münzen auf. Zum Nachweis der Eindeutigkeit: Es sei

eine weitere Darstellung mit

Wir behaupten zunächst

Denn andernfalls wäre

also

und dann wäre

das wäre also keine Darstellung von .

Für die Anzahl der in der zweiten Darsttellung verwendeten Münzen gilt somit (dafür sei )

Bei ist die Darstellung sowieso eindeutig.


Aufgabe weiter

Wir betrachten die durch die Tabelle

Erreichte Punktzahl Note
0-15,5 nicht bestanden
16-17 4
17,5-19 3,7
19,5-21 3,3
21,5-22,5 3
23-24,5 2,7
25-26 2,3
26,5-28 2
28,5-30 1,7
30,5-31,5 1,3
32-64 1

gegebene Abbildung zwischen der Menge der möglichen Punkte (von bis in Halbpunkteschritten) in die Menge der möglichen Noten (von bis in Drittelschritten und „nicht bestanden“).

  1. Bestimme die Anzahl von .
  2. Bestimme die Anzahl von .
  3. Ist die Abbildung

    surjektiv?

  4. Ist die Abbildung

    injektiv?

  5. Es sei nun die Menge der Leute, die in einer Klausur teilnehmen und

    sei die Abbildung, die jeder Person ihre erzielte Punkteanzahl zuordnet. Was bedeutet die Hintereinanderschaltung ?

  6. Es sei nun spezieller

    die Menge der Personen, die die Klausur schrieben. Ihre erzielten Punkte werden durch die folgende Tabelle beschrieben.

    Ist die Abbildung injektiv?

  7. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung surjektiv?
  8. In der soeben beschriebenen Situation, ist die Abbildung injektiv?


Lösung

  1. Die Anzahl der möglichen Punktwerte ist
  2. Es gibt mögliche Notenwerte.
  3. ist surjektiv, da jede Note durch die links stehenden Punktewerte erreicht wird.
  4. ist nicht injektiv, da beispielsweise die Punktewerte und beide die Note ergeben.
  5. Jeder Person wird die in der Klausur erzielte Note zugeordnet.
  6. Die Abbildung ist injektiv, da jeder erzielte Punktewert nur einmal erreicht wird (das sieht man, wenn man die Leute gemäß ihrer Leistung ordnet).
  7. Die Abbildung ist nicht injektiv, da sowohl Elfi als auch Mimi eine bekommen.
  8. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da der Punktebereich zwischen und nicht vorkommt und daher niemand die Note bekommt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit

für durch Induktion über .


Lösung

Der Induktionsanfang für ist klar, da die -te Iteration einer bijektiven Abbildung als Identität zu verstehen ist. Somit ist

Sie die Aussage nun für schon bewiesen. Dann ergibt sich die Aussage für aus


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die Potenzmenge zu einer Menge . Zeige, dass mit der Vereinigung als Addition und der leeren Menge als und mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der Gesamtmenge als ein kommutativer Halbring ist.


Lösung

Die Eigenschaften sind allenfalls bis auf das Distributivgesetz klar. Letzteres besagt die Identität

Wenn ein Element links dazugehört, so gehört es zu und es gehört zu . Somit gehört es zu oder zu und damit auch zu oder zu , also jedenfalls zur rechten Seite. Wenn es rechts dazu gehört, sagen wir zu , was wir wegen der Symmetrie der Situation annehmen können, so gehört es erst recht zu .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige


Lösung

Es ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge Zentimeter beträgt. Gold wiegt Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. Euro im Jahr . Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?


Lösung

Es ist

das ist die Goldmenge pro Person in Kubikzentimetern. In Gramm ist dies

Ein Gramm ist Euro wert, also besitzt jede Person

Euro in Gold.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Element mit . Beweise für durch Induktion die Beziehung


Lösung

Für steht beidseitig . Es sei die Gleichung für ein bestimmtes bewiesen. Dann ist

was die Behauptung für ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsintervalle für die Ungleichung

in einem angeordneten Körper. Skizziere die Graphen der Funktionen und .


Lösung

Entscheidend sind die beiden Grenzen und mit

Wenn

ist, so muss man für beide Beträge das Negative nehmen. Dies führt zur Bedingung

und damit zu

und zu

also

Das Intervall gehört also zur Lösungsmenge. Es sei nun

Dann ist der linke Betrag negativ und der rechte positiv zu nehmen. Dies führt zur Bedingung

und damit zu

und zu

also

Es ist

und somit gehört das Intervall zur Lösungsmenge. Es sei nun

Dann sind beide Beträge positiv zu nehmen. Die Bedingung

führt auf

was in diesem Fall nicht erfüllbar ist. Die gesamte Lösungsmenge ist also das Intervall


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Jede natürliche Zahl besitzt einerseits eine eindeutige Darstellung im Zehnersystem und andererseits eine eindeutige kanonische Primfaktorzerlegung. Beschreibe Vor- und Nachteile der beiden Darstellungen.


Lösung Natürliche Zahl/Zehnersystem/Primfaktorzerlegung/Vorteile/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung