Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/5/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 3 1 2 8 3 3 2 1 2 4 4 3 3 2 6 5 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen
  4. Ein Ring .
  5. Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
  6. Die Gaußklammer einer rationalen Zahl .


Lösung

  1. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  2. Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .
  3. Die Zahl heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen der das Kleinste ist.
  4. Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt und .
  5. Zwischen den Größen und liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung

    mit einer festen Zahl besteht.

  6. Zu einer rationalen Zahl ist die Gaußklammer durch

    definiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Ordnungsrelation und der Addition auf .
  2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
  3. Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe .


Lösung

  1. Für natürliche Zahlen gilt

    genau dann, wenn es ein gibt mit

  2. Sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
  3. Zu je zwei Gruppenelementen besitzen die beiden Gleichungen
    eindeutige Lösungen .


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

mit Hilfe der ersten binomischen Formel und des Distributivgesetzes.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

  1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
  2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
  3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?


Lösung

  1. Induktionsbeweis.
  2. Beweis durch Widerspruch.
  3. Beweis durch Fallunterscheidung.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f f
f w w
f f f


Lösung

.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten den Satz „Nachts sind alle Katzen grau“.

  1. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn es sich auf eine bestimmte Nacht bezieht.
  2. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn es sich auf jede Nacht bezieht.


Lösung

  1. In dieser Nacht gibt es eine Katze, die nicht grau ist.
  2. Es gibt eine Nacht und eine Katze, die in dieser besagten Nacht nicht grau ist.


Aufgabe (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Die Kinder sitzen in einem Stuhlkreis mit Stühlen, die von bis durchnummeriert sind. Sie denken sich die folgende feste Wechselvorschrift aus, die durch die folgende Wertetabelle festgelegt wird.

Bei einem Wechselvorgang muss also das Kind, das auf dem Stuhl mit der Nummer sitzt, auf den Stuhl mit der Nummer hinüberwechseln. Ein Wechselvorgang wird dadurch eingeleitet, dass Frau Maier-Sengupta in die Hände klatscht.

  1. Mustafa Müller sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer . Auf welchem Stuhl sitzt er, nachdem Frau Maier-Sengupta dreimal in die Hände geklatscht hat.
  2. Lucy Sonnenschein sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer . Auf welchem Stuhl sitzt sie, nachdem Frau Maier-Sengupta achtmal in die Hände geklatscht hat.
  3. Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit sowohl Mustafa als auch Lucy wieder auf ihren Ausgangsstühlen sitzen.
  4. Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit alle Kinder wieder auf ihrem Ausgangsstuhl sitzen.
  5. Beschreibe durch eine Wertetabelle die Gesamtwechselvorschrift, wenn Frau Maier-Sengupta -mal in die Hände klatscht.


Lösung

  1. Mustafa Müller bewegt sich , nach dreimaligem Klatschen Sitz er auf Stuhl .
  2. Lucy Sonnenschein bewegt sich , nach achtmaligem Klatschen sitzt sie also auf Stuhl .
  3. Mustafa ist nach zweimaligem Klatschen wieder auf seinem Platz, Lucy nach fünfmaligem Klatschen. Daher sind die beiden nach zehnmaligem Klatschen wieder auf ihren Plätzen.
  4. Neben den oben angeführten Zyklen gibt es noch . Also sind nach dreißigmaligem Klatschen alle Kinder zurück auf ihren Stühlen.
  5. Da sich alles nach Durchgängen wiederholt, kann man davon ausgehen, dass -mal geklatscht wird. Mit den berechneten Zykeln ist das Ergebnis einfach zu berechnen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Durchschnitt“ auf der Potenzmenge .


Lösung

Die Menge sei , die Potenzmenge ist dann

Die Verknüpfungstabelle für den Durchschnitt ist


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Differenz und endliche Mengen.


Lösung

Es ist

eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Fakt *****

Somit erfüllt die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis nur ein- und zweistellige Zahlen auftreten.


Lösung

Im kleinen Einmaleins zur Basis werden alle Produkte

aufgelistet. Das Maximum davon ist

Die Zifferndarstellung von dieser Zahl zur Basis benötigt also nicht die zweite Potenz von , daher genügen zwei Ziffern.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es gibt Schokoriegel und Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?


Lösung

Es sei die Anzahl der Kinder. Damit die Schokoriegel gerecht verteilt werden können, muss ein Teiler von sein, und damit die Äpfel gerecht verteilt werden können, muss ein Teiler von sein. Die Zahl muss also ein gemeinsamer Teiler von und sein. Damit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist teilerfremd zu .
  2. ist teilerfremd zu für ein .
  3. ist teilerfremd zu für jedes .
  4. Die Endziffer von im Zehnersystem ist oder .


Lösung

Wegen

bedeuten (1), (2) und (3) jeweils, dass in der Primfaktorzerlegung von weder noch vorkommt. Wegen

mit der Endziffer zwischen und ist ein Vielfaches von (bzw. von ) genau dann, wenn das für die Endziffer gilt. Dies sind aber genau die geraden Ziffern oder die . Dass weder ein Vielfaches der noch der ist, ist somit äquivalent dazu, dass die Endziffer gleich oder ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite und (in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite und machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?


Lösung

Wir bestimmen zuerst, auf welchen Positionen sich jeweils die beiden Flöhe befinden können, indem wir den euklidischen Algorithmus anwenden. Für Carlo ergibt sich

der größte gemeinsame Teiler der beiden Sprungweiten ist also und die möglichen Positionen von Carlo sind . Für Fredo ergibt sich

der größte gemeinsame Teiler der beiden Sprungweiten ist also und die möglichen Positionen von Fredo sind . Die gemeinsamen Positionen von Carlo und Fredo werden durch

beschrieben. Dafür müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von und ausrechnen. Wegen

und

ist das kleinste gemeinsame Vielfache gleich

Die beiden Flöhe können sich also in den Positionen treffen.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper .


Lösung

 Nehmen wir an, dass und beide von verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente und und daher ist . Andererseits ist aber nach Voraussetzung und daher ist nach Fakt *****  (1)

 so dass sich der Widerspruch ergibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Lösung

Wir rechnen die beiden Seiten aus, die zu zeigende Abschätzung bedeutet dann

In einem angeordneten Körper erhalten sich bei beidseitiger Addition die Abschätzungen, so dass die Abschätzung äquivalent zu

ist. Wir schreiben die linke Seite als

Bei ist und daher

also gilt für die Abschätzung und damit die ursprüngliche Abschätzung.


Aufgabe (2 Punkte)

Vergleiche im Fünfersystem die beiden Brüche


Lösung

Wir rechnen über Kreuz und erhalten

bzw.

Daher ist


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist genau dann streng wachsend, wenn streng wachsend ist.
  2. ist genau dann streng fallend, wenn streng fallend ist.


Lösung

Wegen der Symmetrie der Situation muss man für beide Aussagen nur die Hinrichtung zeigen.

  1. Sei streng wachsend und aus . Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente mit und . Für diese gilt

    da sich andernfalls direkt ein Widerspruch zum strengen Wachstum von ergibt. Somit ist

    und ist ebenfalls streng wachsend.

  2. Sei streng fallend und aus . Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente mit und . Für diese gilt

    da sich andernfalls, aus wegen der Voraussetzung an , streng fallend zu sein, direkt der Widerspruch ergibt. Somit ist

    und ist ebenfalls streng fallend.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.


Lösung

Es sei

gegeben und es sei mit und zwischen und und

Da ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis mit multiplizieren und zeigen, dass man so zurückerhält. Es ist

wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da und gleich sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und natürliche Zahlen mit positiv. Zeige durch Induktion nach , dass man die Restfolgenglieder im Divisionsalgorithmus direkt durch die Division mit Rest

erhalten kann.


Lösung

Bei fällt dies mit der Definition im Divisionsalgorithmus zusammen. Sei also die Aussage für ein schon bewiesen. Nach dem Divisionsalgorithmus ergibt sich das nächste über die Division mit Rest

Wir lösen nach auf und erhalten unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

Umstellen ergibt

was bedeutet, dass der Rest bei der Division von durch gleich ist, wie behauptet.