Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Definitionsliste/kontrolle

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Leere Menge

Mengenlehre/Leere Menge/Definition


Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit

bezeichnet.


Frage:

Die leere Menge.


Antwort:

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.






Teilmenge

Mengentheorie/Teilmenge/Definition


Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.


Frage:

Eine Teilmenge einer Menge .


Antwort:

Man sagt, dass die Menge eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.






Durchschnitt

Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition


Zu Mengen und heißt

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.


Frage:

Der Durchschnitt von Mengen und .


Antwort:

Die Menge

heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.






Vereinigung

Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition


Zu zwei Mengen und heißt

die Vereinigung der beiden Mengen.


Frage:

Die Vereinigung der Mengen und .


Antwort:

Die Menge

heißt die Vereinigung der beiden Mengen.






Differenzmenge

Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition


Zu Mengen nennt man

die Differenzmenge ohne “.


Frage:

Die Differenzmenge zu zwei Mengen .


Antwort:

Man nennt

die Differenzmenge ohne “.






Komplement

Mengenlehre/Komplement/Definition


Zu einer Teilmenge in einer Menge heißt

das Komplement von (in ).


Frage:

Das Komplement zu einer Teilmenge in einer Menge .


Antwort:

Es heißt

das Komplement von .






Disjunkte Mengen

Mengentheorie/Disjunkt/Definition


Zwei Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.


Frage:

Die Disjunktheit von Mengen und .


Antwort:

Die Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.






Kontraposition

Implikation/Kontraposition/Definition


Zu einer Implikation heißt die Implikation die zugehörige Kontraposition.


Frage:

Die Kontraposition zu einer Implikation .


Antwort:

Zur Implikation heißt die Implikation die Kontraposition.






Abbildung

Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition


Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.


Frage:

Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .


Antwort:

Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.






Surjektiv

Abbildung/Surjektiv/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit

gibt.


Frage:

Eine surjektive Abbildung


Antwort:

Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.






Injektiv

Abbildung/Injektiv/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.


Frage:

Eine injektive Abbildung


Antwort:

Die Abbildung

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.






Bijektiv

Abbildung/Bijektiv/Definition


Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.


Frage:

Eine bijektive Abbildung


Antwort:

Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.






Endliche Menge

Endliche Menge/1...n/Definition


Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

gibt.


Frage:

Eine endliche Menge mit Elementen.


Antwort:

Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

gibt.






Hintereinanderschaltung

Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition


Es seien und Mengen und

und

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .


Frage:

Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

und


Antwort:

Die Abbildung

heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .






Identische Abbildung

Abbildung/Identität/Definition


Es sei eine Menge. Dann heißt die Abbildung

die also jedes Element auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf . Sie wird mit oder bezeichnet.


Frage:

Die Identität auf einer Menge .


Antwort:

Die Identität auf ist die Abbildung von nach , die jedes Element auf sich selbst abbildet.






Umkehrabbildung

Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition


Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .


Frage:

Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .


Antwort:

Die Abbildung

die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .






Konstante Abbildung

Abbildung/Konstant/Definition


Es seien und Mengen und es sei ein Element. Dann heißt die Abbildung

die also jedes Element auf abbildet, die konstante Abbildung zum Wert .


Frage:

Eine konstante Abbildung .


Antwort:

Die Abbildung heißt konstant, wenn es ein mit für alle gibt.






Dedekind-Peano-Axiome

Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition


Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

  1. Das Element ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
  2. Jedes ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
  3. Für jede Teilmenge gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
      • ,
      • mit jedem Element ist auch ,

    gelten, so ist .


    Frage:

    Die Peano-Axiome.


    Antwort:

    Die Dedekind-Peano-Axiome beziehen sich auf eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und einer Nachfolgerabbildung

    und lauten folgendermaßen.

    1. Das Element ist kein Nachfolger.
    2. Jedes ist Nachfolger höchstens eines Elementes.
    3. Für jede Teilmenge gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
        • ,
        • mit jedem Element ist auch ,

      gelten, so ist .






      Produktmenge

      Produktmenge/Zwei Mengen/Definition


      Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

      die Produktmenge der beiden Mengen.


      Frage:

      Die Produktmenge aus zwei Mengen und .


      Antwort:

      Man nennt die Menge

      die Produktmenge der Mengen und .






      Graph einer Abbildung

      Abbildung/Graph (Menge)/Definition


      Es seien und Mengen und es sei

      eine Abbildung. Dann nennt man

      den Graphen der Abbildung .


      Frage:

      Der Graph zu einer Abbildung .


      Antwort:

      Man nennt

      den Graphen der Abbildung .






      Verknüpfung

      Verknüpfung/Definition


      Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung


      Frage:

      Eine Verknüpfung auf einer Menge .


      Antwort:

      Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung






      Assoziative Verknüpfung

      Verknüpfung/Assoziativ/Definition


      Eine Verknüpfung

      auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

      gilt.


      Frage:

      Die Assoziativität einer Verknüpfung


      Antwort:

      Eine Verknüpfung

      heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

      gilt.






      Kommutative Verknüpfung

      Verknüpfung/Kommutativ/Definition


      Eine Verknüpfung

      auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

      gilt.


      Frage:

      Die Kommutativität einer Verknüpfung


      Antwort:

      Eine Verknüpfung

      heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

      gilt.






      Neutrales Element

      Verknüpfung/Neutrales Element/Definition


      Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

      gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit gilt.


      Frage:

      Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung


      Antwort:

      Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

      gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit

      gilt.






      Addition

      Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition


      Die Summe zweier natürlicher Zahlen und ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ausgehend -fach den Nachfolger nimmt.


      Frage:

      Die Summe zweier natürlicher Zahlen und .


      Antwort:

      Die Summe ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ausgehend -fach den Nachfolger nimmt.






      Multiplikation

      Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition


      Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist definiert als die -fache Summe der Zahl mit sich selbst.


      Frage:

      Die Multiplikation von natürlichen Zahlen .


      Antwort:

      Das Produkt ist definiert als die -fache Summe der Zahl mit sich selbst.






      Potenz

      Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition


      Zu einer natürlichen Zahl und einer natürlichen Zahl nennt man die -fache Multiplikation von mit sich selbst

      ( Faktoren) die -te Potenz von . Sie wird mit bezeichnet.


      Frage:

      Die -te Potenz zu einer natürlichen Zahl .


      Antwort:

      Unter der -ten Potenz von versteht man die -fache Multiplikation von mit sich selbst

      ( Faktoren).






      Quadratzahl

      Quadratzahl/Definition


      Eine Zahl der Form mit heißt Quadratzahl.


      Frage:

      Eine Quadratzahl.


      Antwort:

      Eine Zahl der Form mit heißt Quadratzahl.






      Relation auf einer Menge

      Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition


      Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .


      Frage:

      Eine Relation auf einer Menge .


      Antwort:

      Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .






      Ordnungsrelation

      Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition


      Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

      1. Es ist für alle .
      2. Aus und folgt stets .
      3. Aus und folgt .


      Frage:

      Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .


      Antwort:

      Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

      1. Es ist für alle .
      2. Aus und folgt stets .
      3. Aus und folgt .






      Lineare Ordnung

      Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition


      Eine Ordnungsrelation auf einer Menge heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.


      Frage:

      Eine lineare (oder totale) Ordnung auf einer Menge .


      Antwort:

      Eine Ordnungsrelation auf heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.






      Größergleichrelation auf N

      Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition


      Man sagt, dass eine natürliche Zahl größergleich einer natürlichen Zahl ist, geschrieben

      wenn man von aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu gelangt.


      Frage:

      Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.


      Antwort:

      Man sagt, dass eine natürliche Zahl größergleich einer natürlichen Zahl ist, geschrieben

      wenn man von aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu gelangt.






      Maximum

      Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition


      Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge heißt das Maximum von , wenn ist und wenn für alle gilt.


      Frage:

      Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge .


      Antwort:

      Das Element heißt das Maximum von , wenn ist und wenn für alle gilt.






      Minimum

      Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition


      Zu einer nichtleeren Teilmenge heißt das Minimum von , wenn ist und wenn für alle gilt.


      Frage:

      Das Minimum zu einer nichtleeren Teilmenge .


      Antwort:

      Das Element heißt das Minimum von , wenn ist und wenn für alle gilt.






      Differenz natürlicher Zahlen

      Natürliche Zahlen/Differenz/Definition


      Für natürliche Zahlen

      ist diejenige natürliche Zahl für die

      gilt. Sie heißt die Differenz zwischen und .


      Frage:

      Die Differenz von natürlichen Zahlen mit .


      Antwort:

      Die Differenz ist diejenige natürliche Zahl für die gilt.






      Kommutativer Halbring

      Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition


      Ein kommutativer Halbring ist eine Menge mit Verknüpfungen und (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

      1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
      2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
      3. Es gilt das Distributivgesetz, also
        für alle .


      Frage:

      Ein kommutativer Halbring.


      Antwort:

      Ein kommutativer Halbring ist eine Menge mit Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

      1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
      2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die das neutrale Element ist.
      3. Es gilt das Distributivgesetz, also
        für alle .






      Potenzmenge

      Mengen/Potenzmenge/Definition


      Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

      bezeichnet.


      Frage:

      Die Potenzmenge zu einer Menge .


      Antwort:

      Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von .






      Teilen ()

      Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition


      Man sagt, dass die natürliche Zahl die natürliche Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .


      Frage:

      Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl eine natürliche Zahl teilt


      Antwort:

      Man sagt, dass die natürliche Zahl die natürliche Zahl teilt, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass ist.






      Gemeinsamer Teiler

      Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition


      Seien natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt für .


      Frage:

      Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen .


      Antwort:

      Eine natürliche Zahl heißt gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt für .






      Größter gemeinsamer Teiler

      Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ggt/Größerbeziehung/Definition


      Seien natürliche Zahlen. Eine natürliche Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn unter allen gemeinsamen Teilern der der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.


      Frage:

      Ein größter gemeinsamer Teiler der natürlichen Zahlen .


      Antwort:

      Eine natürliche Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn unter allen gemeinsamen Teilern der der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.






      Teilerfremd

      Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition


      Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.


      Frage:

      Zwei teilerfremde natürliche Zahlen und .


      Antwort:

      Die beiden natürlichen Zahlen und heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.






      Gemeinsames Vielfaches

      Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition


      Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

      heißt eine natürliche Zahl ein gemeinsames Vielfaches, wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird.


      Frage:

      Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen .


      Antwort:

      Die natürliche Zahl heißt ein gemeinsames Vielfaches der , wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird.






      Kleinstes gemeinsaes Vielfaches

      Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/KgV/Größerbeziehung/Definition


      Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

      heißt die Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen der das Kleinste ist.


      Frage:

      Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen


      Antwort:

      Die Zahl heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen der das Kleinste ist.






      Primzahl

      Zahlentheorie/Primzahl/Definition


      Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.


      Frage:

      Eine Primzahl.


      Antwort:

      Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.






      Primzahlzwilling

      Primzahlzwilling/Definition


      Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus und , wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.


      Frage:

      Ein Primzahlzwilling.


      Antwort:

      Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus und , wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.






      Fakultät

      Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition


      Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

      die Fakultät von (sprich Fakultät).


      Frage:

      Die Fakultät einer natürlichen Zahl .


      Antwort:

      Unter der Fakultät von versteht man die Zahl






      Binomialkoeffizient

      Mengen/Binomialkoeffizient/Definition


      Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

      den Binomialkoeffizienten über “.


      Frage:

      Der Binomialkoeffizient .


      Antwort:

      Der Binomialkoeffizient ist durch

      definiert.






      Ganze Zahlen

      Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition


      Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen , der und der Menge , deren Elemente die negativen ganzen Zahlen heißen.


      Frage:

      Die Menge der ganzen Zahlen.


      Antwort:

      Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen , der und der Menge , die die negativen ganzen Zahlen heißen.






      Addition ( )

      Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition


      Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Addition, eingeführt (dabei bezeichnen natürliche Zahlen). Es ist


      Frage:

      Die Addition für ganze Zahlen.


      Antwort:

      Die Addition wird gemäß einer Fallunterscheidung folgendermaßen definiert. Für natürliche Zahlen setzt man






      Multiplikation ( )

      Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition


      Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Multiplikation, eingeführt (dabei bezeichnen natürliche Zahlen). Es ist


      Frage:

      Die Multiplikation von ganzen Zahlen.


      Antwort:

      Die ganzen Zahlen haben die Form und mit natürlichen Zahlen . Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.






      Betrag

      Ganze Zahlen/Betrag/Definition


      Unter dem Betrag einer ganzen Zahl versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl , falls negativ (und positiv) ist.


      Frage:

      Der Betrag einer ganzen Zahl.


      Antwort:

      Unter dem Betrag einer ganzen Zahl versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl , falls negativ ist.






      Ring

      Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition


      Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

      und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

      1. Axiome der Addition
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt .
        2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
        3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
        4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
      2. Axiome der Multiplikation
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt .
        2. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      3. Distributivgesetz: Für alle gilt und .


      Frage:

      Ein Ring .


      Antwort:

      Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

      und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

      1. Axiome der Addition
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
        2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
        3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
        4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
      2. Axiome der Multiplikation
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
        2. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      3. Distributivgesetz: Für alle gilt und .






      Kommutativer Ring

      Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition


      Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.


      Frage:

      Ein kommutativer Ring .


      Antwort:

      Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.






      Gruppe

      Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition


      Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

      heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

      1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
      2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
      3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit


      Frage:

      Eine Gruppe.


      Antwort:

      Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

      heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

      1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
      2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
      3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit






      Kommutative Gruppe

      Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition


      Eine Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also für alle gilt.


      Frage:

      Eine kommutative Gruppe.


      Antwort:

      Eine Gruppe heißt kommutativ, wenn

      für alle gilt.






      Größergleichrelation auf

      Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition


      Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation . Wir sagen

      wenn es eine natürliche Zahl mit

      gibt.


      Frage:

      Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen.


      Antwort:

      Die Größergleichrelation ist durch

      wenn es eine natürliche Zahl mit

      gibt, festgelegt.






      Angeordneter Ring

      Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition


      Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

      1. Aus folgt für beliebige ,
      2. Aus und folgt für beliebige ,

      erfüllt.


      Frage:

      Ein angeordneter kommutativer Ring .


      Antwort:

      Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung“ auf gibt, die die beiden Eigenschaften

      1. Aus folgt für beliebige ,
      2. Aus folgt ,

      erfüllt.






      Teilen (Z)

      Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition


      Man sagt, dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine ganze Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .


      Frage:

      Die Eigenschaft, dass eine ganze Zahl eine ganze Zahl teilt.


      Antwort:

      Man sagt, dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt, wenn es eine ganze Zahl derart gibt, dass ist.






      Untergruppe

      Gruppentheorie/Untergruppe/Definition


      Sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

      1. .
      2. Mit ist auch .
      3. Mit ist auch .


      Frage:

      Eine Untergruppe in einer Gruppe .


      Antwort:

      Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

      1. .
      2. Mit ist auch .
      3. Mit ist auch .






      Euklidische Restfolge

      Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition


      Seien zwei ganze Zahlen (mit ) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

      rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.


      Frage:

      Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen mit .


      Antwort:

      Man nennt die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

      rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.






      Kommensurabel

      Kommensurabilität/Definition


      Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.


      Frage:

      Die Kommensurabilität von zwei Strecken und .


      Antwort:

      Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.






      p-Exponent

      Ganze Zahl/p-Exponent/Definition


      Zu einer ganzen Zahl und einer Primzahl nennt man den Exponenten, mit dem in der Primfaktorzerlegung von vorkommt, den Exponenten von . Er wird mit bezeichnet.


      Frage:

      Der -Exponent von einer ganzen Zahl zu einer Primzahl .


      Antwort:

      Man nennt den Exponenten, mit dem in der Primfaktorzerlegung von vorkommt, den -Exponenten von .






      Proportional

      Größe/Proportionalität/Definition


      Wenn zwischen zwei Größen und (die in , in , in , in oder einem beliebigen kommutativen Ring variieren), ein Zusammenhang der Form

      mit einer festen Zahl besteht, so spricht man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen den beiden Größen und man sagt, dass proportional zu ist. Die Zahl , die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt Proportionalitätskonstante.


      Frage:

      Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.


      Antwort:

      Zwischen den Größen und liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung

      mit einer festen Zahl besteht.






      Rationale Zahl

      Rationale Zahlen/Brüche/Definition


      Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

      wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit bezeichnet.


      Frage:

      Eine rationale Zahl.


      Antwort:

      Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

      wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.






      Gekürzter Bruch

      Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition


      Ein Bruch heißt gekürzt, wenn und teilerfremd sind.


      Frage:

      Die gekürzte Darstellung einer rationalen Zahl.


      Antwort:

      Ein Bruch heißt gekürzt, wenn und teilerfremd sind.






      Stammbruch

      Stammbruch/Definition


      Eine rationale Zahl der Form , , heißt Stammbruch.


      Frage:

      Ein Stammbruch.


      Antwort:

      Eine rationale Zahl der Form , , heißt Stammbruch.






      Addition auf

      Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition


      Die Addition der rationalen Zahlen und ist durch

      definiert.


      Frage:

      Die Addition von rationalen Zahlen und .


      Antwort:

      Die Addition der rationalen Zahlen und ist durch

      definiert.






      Multiplikation auf

      Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition


      Die Multiplikation von rationalen Zahlen und ist durch

      definiert.


      Frage:

      Die Multiplikation von rationalen Zahlen und .


      Antwort:

      Die Multiplikation von rationalen Zahlen und ist durch

      definiert.






      Körper (ausführlich)

      Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition


      Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

      und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

      1. Axiome der Addition
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
        2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
        3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
        4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
      2. Axiome der Multiplikation
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
        2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
        3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
        4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
      3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


      Frage:

      Ein Körper.


      Antwort:

      Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

      und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

      1. Axiome der Addition
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
        2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
        3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
        4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
      2. Axiome der Multiplikation
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
        2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
        3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
        4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
      3. Distributivgesetz: Für alle gilt .






      Körper

      Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition


      Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.


      Frage:

      Ein Körper .


      Antwort:

      Ein Körper ist ein kommutativer Ring, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element in ein multiplikatives Inverses besitzt.






      Anordnung auf den rationalen Zahlen

      Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition


      Auf den rationalen Zahlen wird die Größergleichrelation durch (bei positiven Nennern ), falls in gilt, definiert.


      Frage:

      Die Größergleichrelation auf den rationalen Zahlen.


      Antwort:

      Auf den rationalen Zahlen wird die Größergleichrelation durch (bei positiven Nennern ), falls in gilt, definiert.






      Angeordneter Körper

      Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition


      Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

      1. Aus folgt (für beliebige ),
      2. Aus und folgt (für beliebige ),

      erfüllt.


      Frage:

      Ein angeordneter Körper.


      Antwort:

      Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung“ auf gibt, die die beiden Eigenschaften

      1. Aus folgt (für beliebige )
      2. Aus und folgt (für beliebige )

      erfüllt.






      Betrag (angeordneter Körper)

      Angeordneter Körper/Betrag/Definition


      In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.


      Frage:

      Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .


      Antwort:

      Der Betrag von ist folgendermaßen definiert.






      Arithmetisches Mittel

      Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition


      Zu Zahlen in einem angeordneten Körper nennt man

      das arithmetische Mittel der Zahlen.


      Frage:

      Das arithmetische Mittel zu Elementen in einem angeordneten Körper .


      Antwort:

      Unter dem arithmetischen Mittel der Zahlen versteht man den Bruch






      Archimedisch angeordnet

      Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition


      Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

      gibt.


      Frage:

      Ein archimedisch angeordneter Körper .


      Antwort:

      Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

      gibt.






      Gaußklammer

      Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition


      Zu einer rationalen Zahl ist die Gaußklammer durch

      definiert.


      Frage:

      Die Gaußklammer einer rationalen Zahl .


      Antwort:

      Zu einer rationalen Zahl ist die Gaußklammer durch

      definiert.






      Gemischter Bruch

      Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition


      Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

      mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und . Der Wert eines gemischten Bruches ist


      Frage:

      Ein gemischter Bruch.


      Antwort:

      Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

      mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und .






      Wachsende Funktion

      Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition


      Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

      heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.


      Frage:

      Eine wachsende Abbildung auf einem angeordneten Körper .


      Antwort:

      Die Abbildung heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.






      Streng wachsende Funktion

      Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng wachsend/Definition


      Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

      heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.


      Frage:

      Eine streng wachsende Abbildung auf einem angeordneten Körper .


      Antwort:

      Die Abbildung heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.






      Fallende Funktion

      Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Fallend/Definition


      Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

      heißt fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.


      Frage:

      Eine fallende Abbildung auf einem angeordneten Körper .


      Antwort:

      Die Abbildung heißt fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.






      Streng fallende Funktion

      Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng fallend/Definition


      Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

      heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.


      Frage:

      Eine streng fallende Abbildung auf einem angeordneten Körper .


      Antwort:

      Die Abbildung heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.






      Lineare Funktion

      Lineare Funktion/Körper/Definition


      Es sei ein Körper. Eine Funktion der Form

      mit einem festen heißt lineare Funktion.


      Frage:

      Eine lineare Funktion auf einem Körper .


      Antwort:

      Eine Funktion der Form

      mit einem festen heißt lineare Funktion.






      Dezimalbruch

      Dezimalbruch/Definition


      Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch.


      Frage:

      Ein Dezimalbruch.


      Antwort:

      Ein Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann.






      Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem

      Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition


      Es sei ein Dezimalbruch

      mit , , und gegeben, und es sei

      die Dezimaldarstellung von . Dann nennt man

      die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.


      Frage:

      Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.


      Antwort:

      Es sei ein Dezimalbruch

      mit , , und gegeben, und es sei

      die Dezimaldarstellung von . Dann nennt man

      die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.






      Prozent

      Rationale Zahl/Prozent/Definition


      Ein Prozent ist .


      Frage:

      Ein Prozent.


      Antwort:

      Ein Prozent ist .






      Promille

      Rationale Zahl/Promille/Definition


      Ein Promille ist .


      Frage:

      Ein Promille.


      Antwort:

      Ein Promille ist .






      (Ganzzahlige) Exponentialfunktion

      Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition


      Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

      die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis .


      Frage:

      Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.


      Antwort:

      Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

      die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis .






      Folge

      Menge/Folge/Definition


      Es sei eine Menge. Eine Abbildung

      nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form

      geschrieben.


      Frage:

      Eine Folge in einer Menge .


      Antwort:

      Eine Folge in ist eine Abbildung






      Dezimalbruchfolge

      Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition


      Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form

      mit und

      heißt Dezimalbruchfolge.


      Frage:

      Eine Dezimalbruchfolge , , in einem angeordneten Körper .


      Antwort:

      Eine Folge der Form

      mit und

      heißt Dezimalbruchfolge.






      Konvergenz einer Folge

      Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition


      Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

      Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

      gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

      Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.


      Frage:

      Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .


      Antwort:

      Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

      Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

      gilt.