Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Definitionsliste/kontrolle

Leere Menge

Mengenlehre/Leere Menge/Definition

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit

$\emptyset$

bezeichnet.

Frage:

Die leere Menge.

Antwort:

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.

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Teilmenge

Mengentheorie/Teilmenge/Definition

Es seien ${}T$ und ${}M$ Mengen. Man sagt, dass ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.

Frage:

Eine Teilmenge ${}T$ einer Menge ${}M$.

Antwort:

Man sagt, dass die Menge ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.

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Durchschnitt

Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition

Zu Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

${}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.

Frage:

Der Durchschnitt von Mengen ${}L$ und ${}M$.

Antwort:

Die Menge

${}L\cap M={\left\{x\mid x\in L{\text{ und }}x\in M\right\}}\,$

heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.

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Vereinigung

Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition

Zu zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißt

${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

die Vereinigung der beiden Mengen.

Frage:

Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.

Antwort:

Die Menge

${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

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Differenzmenge

Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition

Zu Mengen ${}A,B$ nennt man

${}A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,$

die Differenzmenge „${}A$ ohne ${}B$“.

Frage:

Die Differenzmenge ${}A\setminus B$ zu zwei Mengen ${}A,B$.

Antwort:

Man nennt

${}A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,$

die Differenzmenge „${}A$ ohne ${}B$“.

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Komplement

Mengenlehre/Komplement/Definition

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einer Menge ${}M$ heißt

${}M\setminus T={\left\{x\in M\mid x\not \in T\right\}}\,$

das Komplement von ${}T$ (in ${}M$).

Frage:

Das Komplement zu einer Teilmenge ${}T$ in einer Menge ${}M$.

Antwort:

Es heißt

${}M\setminus T={\left\{x\in M\mid x\not \in T\right\}}\,$

das Komplement von ${}T$.

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Disjunkte Mengen

Mengentheorie/Disjunkt/Definition

Zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ${}L\cap M=\emptyset$ ist.

Frage:

Die Disjunktheit von Mengen ${}L$ und ${}M$.

Antwort:

Die Mengen ${}L$ und ${}M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ${}L\cap M=\emptyset$ ist.

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Kontraposition

Implikation/Kontraposition/Definition

Zu einer Implikation ${}\alpha \rightarrow \beta$ heißt die Implikation ${}\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ die zugehörige Kontraposition.

Frage:

Die Kontraposition zu einer Implikation ${}\alpha \rightarrow \beta$.

Antwort:

Zur Implikation ${}\alpha \rightarrow \beta$ heißt die Implikation ${}\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ die Kontraposition.

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Abbildung

Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition

Seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Frage:

Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.

Antwort:

Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.

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Surjektiv

Abbildung/Surjektiv/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,$

gibt.

Frage:

Eine surjektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M.$

Antwort:

Die Abbildung ${}f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit ${}f(x)=y$ gibt.

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Injektiv

Abbildung/Injektiv/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,x'\in L$ auch ${}F(x)$ und ${}F(x')$ verschieden sind.

Frage:

Eine injektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M.$

Antwort:

Die Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M$

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in L$ auch ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden sind.

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Bijektiv

Abbildung/Bijektiv/Definition

Es seien ${}M$ und ${}L$ Mengen und es sei

$F\colon M\longrightarrow L,\,x\longmapsto F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt ${}F$ bijektiv, wenn ${}F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Frage:

Eine bijektive Abbildung

$f\colon M\longrightarrow N.$

Antwort:

Die Abbildung ${}f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

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Endliche Menge

Endliche Menge/1...n/Definition

Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

$\{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

gibt.

Frage:

Eine endliche Menge ${}M$ mit ${}n$ Elementen.

Antwort:

Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M$

gibt.

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Hintereinanderschaltung

Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition

Es seien ${}L,\,M$ und ${}N$ Mengen und

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

und

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

Frage:

Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

$F\colon L\longrightarrow M$

und

$G\colon M\longrightarrow N.$

Antwort:

Die Abbildung

$G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

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Identische Abbildung

Abbildung/Identität/Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Dann heißt die Abbildung

$M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x,$

die also jedes Element ${}x\in M$ auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf ${}M$. Sie wird mit ${}\operatorname {Id}$ oder ${}\operatorname {Id} _{M}$ bezeichnet.

Frage:

Die Identität auf einer Menge ${}M$.

Antwort:

Die Identität auf ${}M$ ist die Abbildung von ${}M$ nach ${}M$, die jedes Element ${}x\in M$ auf sich selbst abbildet.

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Umkehrabbildung

Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, die Umkehrabbildung zu ${}F$.

Frage:

Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.

Antwort:

Die Abbildung

$G\colon M\longrightarrow L,$

die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu ${}F$.

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Konstante Abbildung

Abbildung/Konstant/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei ${}c\in M$ ein Element. Dann heißt die Abbildung

$L\longrightarrow M,\,x\longmapsto c,$

die also jedes Element ${}x\in L$ auf ${}c$ abbildet, die konstante Abbildung zum Wert ${}c$.

Frage:

Eine konstante Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$.

Antwort:

Die Abbildung ${}\varphi$ heißt konstant, wenn es ein ${}c\in M$ mit ${}\varphi (x)=c$ für alle ${}x\in L$ gibt.

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Dedekind-Peano-Axiome

Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition

Eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in N$ (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

$'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',$

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

1. Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
2. Jedes ${}n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
3. Für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
   • ${}0\in T$,
   • mit jedem Element
   ${}n\in T$ ist auch ${}n'\in T$,

gelten, so ist ${}T=N$.

Frage:

Die Peano-Axiome.

Antwort:

Die Dedekind-Peano-Axiome beziehen sich auf eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in N$ und einer Nachfolgerabbildung

$'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n'$

und lauten folgendermaßen.

1. Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger.
2. Jedes ${}n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes.
3. Für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
   • ${}0\in T$,
   • mit jedem Element ${}n\in T$ ist auch ${}n'\in T$,

gelten, so ist ${}T=N$.

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Produktmenge

Produktmenge/Zwei Mengen/Definition

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Frage:

Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.

Antwort:

Man nennt die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der Mengen ${}L$ und ${}M$.

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Graph einer Abbildung

Abbildung/Graph (Menge)/Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$

den Graphen der Abbildung ${}F$.

Frage:

Der Graph zu einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.

Antwort:

Man nennt

$\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M$

den Graphen der Abbildung ${}F$.

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Verknüpfung

Verknüpfung/Definition

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Frage:

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.

Antwort:

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

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Assoziative Verknüpfung

Verknüpfung/Assoziativ/Definition

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

gilt.

Frage:

Die Assoziativität einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

Antwort:

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

heißt assoziativ, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die Gleichheit

${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

gilt.

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Kommutative Verknüpfung

Verknüpfung/Kommutativ/Definition

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

auf einer Menge ${}M$ heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

${}x\circ y=y\circ x\,$

gilt.

Frage:

Die Kommutativität einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M.$

Antwort:

Eine Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

${}x\circ y=y\circ x\,$

gilt.

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Neutrales Element

Verknüpfung/Neutrales Element/Definition

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit ${}x\circ e=x=e\circ x$ gilt.

Frage:

Ein neutrales Element ${}e\in M$ zu einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

Antwort:

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element ${}e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle ${}x\in M$ die Gleichheit

$x\circ e=x=e\circ x$

gilt.

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Addition

Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition

Die Summe ${}n+k$ zweier natürlicher Zahlen ${}n$ und ${}k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ${}n$ ausgehend ${}k$-fach den Nachfolger nimmt.

Frage:

Die Summe ${}n+k$ zweier natürlicher Zahlen ${}n$ und ${}k$.

Antwort:

Die Summe ${}n+k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ${}n$ ausgehend ${}k$-fach den Nachfolger nimmt.

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Multiplikation

Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition

Das Produkt ${}a\cdot b$ zweier natürlicher Zahlen ist definiert als die ${}a$-fache Summe der Zahl ${}b$ mit sich selbst.

Frage:

Die Multiplikation ${}a\cdot b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$.

Antwort:

Das Produkt ${}a\cdot b$ ist definiert als die ${}a$-fache Summe der Zahl ${}b$ mit sich selbst.

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Potenz

Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition

Zu einer natürlichen Zahl ${}a$ und einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die ${}n$-fache Multiplikation von ${}a$ mit sich selbst

$a\cdot a\cdots a\cdot a$

(${}n$ Faktoren) die ${}n$-te Potenz von ${}a$. Sie wird mit ${}a^{n}$ bezeichnet.

Frage:

Die ${}n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl ${}a$.

Antwort:

Unter der ${}n$-ten Potenz von ${}a$ versteht man die ${}n$-fache Multiplikation von ${}a$ mit sich selbst

$a\cdot a\cdots a\cdot a$

(${}n$ Faktoren).

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Quadratzahl

Quadratzahl/Definition

Eine Zahl der Form ${}n^{2}$ mit ${}n\in \mathbb {N}$ heißt Quadratzahl.

Frage:

Eine Quadratzahl.

Antwort:

Eine Zahl der Form ${}n^{2}$ mit ${}n\in \mathbb {N}$ heißt Quadratzahl.

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Relation auf einer Menge

Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also ${}R\subseteq M\times M$.

Frage:

Eine Relation auf einer Menge ${}M$.

Antwort:

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also ${}R\subseteq M\times M$.

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Ordnungsrelation

Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

Frage:

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.

Antwort:

Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

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Lineare Ordnung

Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen ${}x,y\in I$ die Beziehung ${}x\preccurlyeq y$ oder ${}y\preccurlyeq x$ gilt.

Frage:

Eine lineare (oder totale) Ordnung ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.

Antwort:

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf ${}I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen ${}x,y\in I$ die Beziehung ${}x\preccurlyeq y$ oder ${}y\preccurlyeq x$ gilt.

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Größergleichrelation auf N

Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition

Man sagt, dass eine natürliche Zahl ${}n$ größergleich einer natürlichen Zahl ${}k$ ist, geschrieben

${}n\geq k\,,$

wenn man von ${}k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu ${}n$ gelangt.

Frage:

Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.

Antwort:

Man sagt, dass eine natürliche Zahl ${}n$ größergleich einer natürlichen Zahl ${}k$ ist, geschrieben

${}n\geq k\,,$

wenn man von ${}k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu ${}n$ gelangt.

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Maximum

Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition

Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$ heißt ${}a$ das Maximum von ${}T$, wenn ${}a\in T$ ist und wenn ${}a\geq x$ für alle ${}x\in T$ gilt.

Frage:

Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$.

Antwort:

Das Element ${}a$ heißt das Maximum von ${}T$, wenn ${}a\in T$ ist und wenn ${}a\geq x$ für alle ${}x\in T$ gilt.

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Minimum

Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition

Zu einer nichtleeren Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$ heißt ${}b$ das Minimum von ${}T$, wenn ${}b\in T$ ist und wenn ${}b\leq x$ für alle ${}x\in T$ gilt.

Frage:

Das Minimum zu einer nichtleeren Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$.

Antwort:

Das Element ${}a$ heißt das Minimum von ${}T$, wenn ${}a\in T$ ist und wenn ${}a\leq x$ für alle ${}x\in T$ gilt.

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Differenz natürlicher Zahlen

Natürliche Zahlen/Differenz/Definition

Für natürliche Zahlen

${}a\geq b\,$

ist ${}a-b$ diejenige natürliche Zahl ${}c$ für die

${}a=b+c\,$

gilt. Sie heißt die Differenz zwischen ${}a$ und ${}b$.

Frage:

Die Differenz ${}a-b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\leq a$.

Antwort:

Die Differenz ${}a-b$ ist diejenige natürliche Zahl ${}c$ für die ${}a=b+c$ gilt.

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Kommutativer Halbring

Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition

Ein kommutativer Halbring ${}R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}0$ das neutrale Element ist.
2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}1$ das neutrale Element ist.
3. Es gilt das Distributivgesetz, also

   ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$

   für alle

   ${}a,b,c\in R$.

Frage:

Ein kommutativer Halbring.

Antwort:

Ein kommutativer Halbring ${}R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}0$ das neutrale Element ist.
2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}1$ das neutrale Element ist.
3. Es gilt das Distributivgesetz, also

   ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$

   für alle ${}a,b,c\in R$.

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Potenzmenge

Mengen/Potenzmenge/Definition

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$. Sie wird mit

${\mathfrak {P}}\,(M)$

bezeichnet.

Frage:

Die Potenzmenge zu einer Menge ${}M$.

Antwort:

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$.

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Teilen (${}\mathbb {N}$)

Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition

Man sagt, dass die natürliche Zahl ${}a$ die natürliche Zahl ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es eine natürliche Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Frage:

Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl ${}a$ eine natürliche Zahl ${}b$ teilt

Antwort:

Man sagt, dass die natürliche Zahl ${}a$ die natürliche Zahl ${}b$ teilt, wenn es eine natürliche Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist.

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Gemeinsamer Teiler

Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl ${}t$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt für ${}i=1,\ldots ,k$.

Frage:

Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$.

Antwort:

Eine natürliche Zahl ${}t$ heißt gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt für ${}i=1,\ldots ,k$.

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Größter gemeinsamer Teiler

Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ggt/Größerbeziehung/Definition

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ natürliche Zahlen. Eine natürliche Zahl ${}g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn ${}g$ unter allen gemeinsamen Teilern der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.

Frage:

Ein größter gemeinsamer Teiler der natürlichen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$.

Antwort:

Eine natürliche Zahl ${}g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn ${}g$ unter allen gemeinsamen Teilern der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.

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Teilerfremd

Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition

Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler ${}\geq 2$ besitzen.

Frage:

Zwei teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$.

Antwort:

Die beiden natürlichen Zahlen ${}a$ und ${}b$ heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler ${}\geq 2$ besitzen.

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Gemeinsames Vielfaches

Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

$a_{1},\ldots ,a_{k}$

heißt eine natürliche Zahl ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird.

Frage:

Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$.

Antwort:

Die natürliche Zahl ${}b$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird.

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Kleinstes gemeinsaes Vielfaches

Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/KgV/Größerbeziehung/Definition

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

$a_{1},\ldots ,a_{k}$

heißt die Zahl ${}b$ das kleinste gemeinsame Vielfache der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen ${}\neq 0$ der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ das Kleinste ist.

Frage:

Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen

$a_{1},\ldots ,a_{k}.$

Antwort:

Die Zahl ${}b$ heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen ${}\neq 0$ der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ das Kleinste ist.

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Primzahl

Zahlentheorie/Primzahl/Definition

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.

Frage:

Eine Primzahl.

Antwort:

Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.

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Primzahlzwilling

Primzahlzwilling/Definition

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus ${}p$ und ${}p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.

Frage:

Ein Primzahlzwilling.

Antwort:

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus ${}p$ und ${}p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.

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Fakultät

Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die Zahl

${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,$

die Fakultät von ${}n$ (sprich ${}n$ Fakultät).

Frage:

Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.

Antwort:

Unter der Fakultät von ${}n$ versteht man die Zahl

${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$

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Binomialkoeffizient

Mengen/Binomialkoeffizient/Definition

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}k\leq n$. Dann nennt man

${}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

den Binomialkoeffizienten „${}n$ über ${}k$“.

Frage:

Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.

Antwort:

Der Binomialkoeffizient ist durch

${}{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

definiert.

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Ganze Zahlen

Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition

Die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$, der ${}0$ und der Menge ${}{\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, deren Elemente die negativen ganzen Zahlen heißen.

Frage:

Die Menge der ganzen Zahlen.

Antwort:

Die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$, der ${}0$ und der Menge ${}{\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, die die negativen ganzen Zahlen heißen.

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Addition ( ${}\mathbb {Z}$ )

Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition

Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Addition, eingeführt (dabei bezeichnen ${}a,b$ natürliche Zahlen). Es ist

${}a+b:=a+b\,,$

${}a+(-b):={\begin{cases}a-b,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\-(b-a),{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$

${}(-a)+b:={\begin{cases}b-a,{\text{ falls }}b\geq a\,,\\-(a-b),{\text{ falls }}b<a\,,\end{cases}}\,$

${}(-a)+(-b):=-(a+b)\,.$

Frage:

Die Addition für ganze Zahlen.

Antwort:

Die Addition wird gemäß einer Fallunterscheidung folgendermaßen definiert. Für natürliche Zahlen ${}a,b$ setzt man

${}a+b:=a+b\,,$

${}a+(-b):={\begin{cases}a-b,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\-(b-a),{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$

${}(-a)+b:={\begin{cases}b-a,{\text{ falls }}b\geq a\,,\\-(a-b),{\text{ falls }}b<a\,,\end{cases}}\,$

${}(-a)+(-b):=-(a+b)\,.$

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Multiplikation ( ${}\mathbb {Z}$ )

Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition

Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Multiplikation, eingeführt (dabei bezeichnen ${}a,b$ natürliche Zahlen). Es ist

${}a\cdot b:=a\cdot b\,,$

${}a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$

Frage:

Die Multiplikation von ganzen Zahlen.

Antwort:

Die ganzen Zahlen haben die Form ${}\pm a$ und ${}\pm b$ mit natürlichen Zahlen ${}a,b$. Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.

${}a\cdot b:=a\cdot b\,,$

${}a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$

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Betrag

Ganze Zahlen/Betrag/Definition

Unter dem Betrag ${}\vert {n}\vert$ einer ganzen Zahl ${}n$ versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl ${}-n$, falls ${}n$ negativ (und ${}-n$ positiv) ist.

Frage:

Der Betrag einer ganzen Zahl.

Antwort:

Unter dem Betrag ${}\vert {n}\vert$ einer ganzen Zahl ${}n$ versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl ${}-n$, falls ${}n$ negativ ist.

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Ring

Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition

Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.

Frage:

Ein Ring ${}R$.

Antwort:

Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.

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Kommutativer Ring

Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Frage:

Ein kommutativer Ring ${}R$.

Antwort:

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

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Gruppe

Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

   ${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

   ${}g\circ e=g=e\circ g\,.$

3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

   ${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Frage:

Eine Gruppe.

Antwort:

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

   $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

   $g\circ e=g=e\circ g.$

3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

   $h\circ g=g\circ h=e.$

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Kommutative Gruppe

Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition

Eine Gruppe ${}(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also ${}x\circ y=y\circ x$ für alle ${}x,y\in G$ gilt.

Frage:

Eine kommutative Gruppe.

Antwort:

Eine Gruppe ${}(G,\circ ,e)$ heißt kommutativ, wenn

${}x\circ y=y\circ x\,$

für alle ${}x,y\in G$ gilt.

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Größergleichrelation auf ${}\mathbb {Z}$

Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition

Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation ${}\geq$. Wir sagen

${}a\geq b\,,$

wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}a=b+n\,$

gibt.

Frage:

Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen.

Antwort:

Die Größergleichrelation ist durch

${}a\geq b\,,$

wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}a=b+n\,$

gibt, festgelegt.

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Angeordneter Ring

Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}R$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in R$,
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ für beliebige ${}a,b\in R$,

erfüllt.

Frage:

Ein angeordneter kommutativer Ring ${}R$.

Antwort:

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „${}\geq$“ auf ${}R$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in R$,
2. Aus ${}a,b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$,

erfüllt.

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Teilen (Z)

Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition

Man sagt, dass die ganze Zahl ${}a$ die ganze Zahl ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es eine ganze Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Frage:

Die Eigenschaft, dass eine ganze Zahl ${}a$ eine ganze Zahl ${}b$ teilt.

Antwort:

Man sagt, dass die ganze Zahl ${}a$ die ganze Zahl ${}b$ teilt, wenn es eine ganze Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist.

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Untergruppe

Gruppentheorie/Untergruppe/Definition

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1. ${}e\in H$.
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.

Frage:

Eine Untergruppe ${}H$ in einer Gruppe ${}G$.

Antwort:

Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1. ${}e\in H$.
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.

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Euklidische Restfolge

Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition

Es seien zwei ganze Zahlen ${}a,b$ (mit ${}b\neq 0$) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

Frage:

Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$.

Antwort:

Man nennt die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

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Kommensurabel

Kommensurabilität/Definition

Zwei Strecken ${}s$ und ${}t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke ${}g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von ${}g$ sind.

Frage:

Die Kommensurabilität von zwei Strecken ${}s$ und ${}t$.

Antwort:

Zwei Strecken ${}s$ und ${}t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke ${}g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von ${}g$ sind.

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p-Exponent

Ganze Zahl/p-Exponent/Definition

Zu einer ganzen Zahl ${}n\neq 0$ und einer Primzahl ${}p$ nennt man den Exponenten, mit dem ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt, den Exponenten von ${}n$. Er wird mit ${}\nu _{p}(n)$ bezeichnet.

Frage:

Der ${}p$-Exponent von einer ganzen Zahl ${}n$ zu einer Primzahl ${}p$.

Antwort:

Man nennt den Exponenten, mit dem ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt, den ${}p$-Exponenten von ${}n$.

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Proportional

Größe/Proportionalität/Definition

Wenn zwischen zwei Größen ${}x$ und ${}y$ (die in ${}\mathbb {N}$, in ${}\mathbb {Z}$, in ${}\mathbb {Q}$, in ${}\mathbb {R}$ oder einem beliebigen kommutativen Ring variieren), ein Zusammenhang der Form

${}y=cx\,$

mit einer festen Zahl ${}c$ besteht, so spricht man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen den beiden Größen und man sagt, dass ${}y$ proportional zu ${}x$ ist. Die Zahl ${}c$, die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt Proportionalitätskonstante.

Frage:

Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.

Antwort:

Zwischen den Größen ${}x$ und ${}y$ liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung

${}y=cx\,$

mit einer festen Zahl ${}c$ besteht.

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Rationale Zahl

Rationale Zahlen/Brüche/Definition

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

${\frac {a}{b}},$

wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit ${}\mathbb {Q}$ bezeichnet.

Frage:

Eine rationale Zahl.

Antwort:

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

${\frac {a}{b}},$

wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$) gilt.

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Gekürzter Bruch

Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition

Ein Bruch ${}a/b$ heißt gekürzt, wenn ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind.

Frage:

Die gekürzte Darstellung einer rationalen Zahl.

Antwort:

Ein Bruch ${}a/b$ heißt gekürzt, wenn ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind.

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Stammbruch

Stammbruch/Definition

Eine rationale Zahl der Form ${}{\frac {1}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, heißt Stammbruch.

Frage:

Ein Stammbruch.

Antwort:

Eine rationale Zahl der Form ${}{\frac {1}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, heißt Stammbruch.

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Addition auf ${}\mathbb {Q}$

Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition

Die Addition der rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$ ist durch

${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$

definiert.

Frage:

Die Addition von rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$.

Antwort:

Die Addition der rationalen Zahlen ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ ist durch

${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$

definiert.

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Multiplikation auf ${}\mathbb {Q}$

Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition

Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$ ist durch

${}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}:={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}\,$

definiert.

Frage:

Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$.

Antwort:

Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$ ist durch

${}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}:={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}\,$

definiert.

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Körper (ausführlich)

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

Frage:

Ein Körper.

Antwort:

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

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Körper

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Frage:

Ein Körper ${}K$.

Antwort:

Ein Körper ${}K$ ist ein kommutativer Ring, wenn ${}K\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element in ${}K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.

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Anordnung auf den rationalen Zahlen

Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition

Auf den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ wird die Größergleichrelation ${}\geq$ durch ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei positiven Nennern ${}b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls ${}ad\geq cb$ in ${}\mathbb {Z}$ gilt, definiert.

Frage:

Die Größergleichrelation ${}\geq$ auf den rationalen Zahlen.

Antwort:

Auf den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ wird die Größergleichrelation ${}\geq$ durch ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei positiven Nennern $b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls ${}ad\geq cb$ in ${}\mathbb {Z}$ gilt, definiert.

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Angeordneter Körper

Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$),
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$),

erfüllt.

Frage:

Ein angeordneter Körper.

Antwort:

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „${}\geq$“ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$)
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$)

erfüllt.

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Betrag (angeordneter Körper)

Angeordneter Körper/Betrag/Definition

In einem angeordneten Körper ${}K$ ist der Betrag eines Elementes ${}x\in K$ folgendermaßen definiert.

${}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$

Frage:

Der Betrag eines Elementes ${}x$ in einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Der Betrag von ${}x$ ist folgendermaßen definiert.

$\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$

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Arithmetisches Mittel

Angeordneter Körper/Arithmetisches Mittel/Definition

Zu ${}n$ Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ in einem angeordneten Körper ${}K$ nennt man

${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$

das arithmetische Mittel der Zahlen.

Frage:

Das arithmetische Mittel zu Elementen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ in einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Unter dem arithmetischen Mittel der Zahlen versteht man den Bruch

${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}.$

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Archimedisch angeordnet

Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.

Frage:

Ein archimedisch angeordneter Körper ${}K$.

Antwort:

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

$n\geq x$

gibt.

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Gaußklammer

Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition

Zu einer rationalen Zahl ${}x$ ist die Gaußklammer ${}\left\lfloor x\right\rfloor$ durch

$\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

definiert.

Frage:

Die Gaußklammer einer rationalen Zahl ${}x$.

Antwort:

Zu einer rationalen Zahl ${}x$ ist die Gaußklammer ${}\left\lfloor x\right\rfloor$ durch

$\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

definiert.

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Gemischter Bruch

Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

$n{\frac {a}{b}}$

mit einer natürlichen Zahl ${}n$ und einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {N}$ und ${}a<b$. Der Wert eines gemischten Bruches ist

$n+{\frac {a}{b}}.$

Frage:

Ein gemischter Bruch.

Antwort:

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

$n{\frac {a}{b}}$

mit einer natürlichen Zahl ${}n$ und einer rationalen Zahl ${}{\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a<b$.

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Wachsende Funktion

Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Wachsend/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x\leq x'$ auch ${}f(x)\leq f(x')$ gilt.

Frage:

Eine wachsende Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Die Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in K$ mit ${}x\leq x'$ auch ${}f(x)\leq f(x')$ gilt.

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Streng wachsende Funktion

Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng wachsend/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x<x'$ auch ${}f(x)<f(x')$ gilt.

Frage:

Eine streng wachsende Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Die Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in K$ mit ${}x<x'$ auch ${}f(x)<f(x')$ gilt.

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Fallende Funktion

Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Fallend/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt fallend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x\leq x'$ die Abschätzung ${}f(x)\geq f(x')$ gilt.

Frage:

Eine fallende Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Die Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ heißt fallend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in K$ mit ${}x\leq x'$ die Abschätzung ${}f(x)\geq f(x')$ gilt.

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Streng fallende Funktion

Angeordneter Körper/Teilmenge/Funktion/Streng fallend/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}T\subseteq K$ eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon T\longrightarrow K$

heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in T$ mit ${}x<x'$ die Abschätzung ${}f(x)>f(x')$ gilt.

Frage:

Eine streng fallende Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Die Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in K$ mit ${}x<x'$ die Abschätzung ${}f(x)>f(x')$ gilt.

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Lineare Funktion

Lineare Funktion/Körper/Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine Funktion der Form

$f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

mit einem festen ${}c\in K$ heißt lineare Funktion.

Frage:

Eine lineare Funktion ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem Körper ${}K$.

Antwort:

Eine Funktion der Form

$f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$

mit einem festen ${}c\in K$ heißt lineare Funktion.

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Dezimalbruch

Dezimalbruch/Definition

Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch.

Frage:

Ein Dezimalbruch.

Antwort:

Ein Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann.

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Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem

Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition

Es sei ein Dezimalbruch

${\frac {a}{10^{k}}}$

mit ${}a=\pm b\in \mathbb {Z}$, ${}b\in \mathbb {N}$, und ${}k\in \mathbb {N}$ gegeben, und es sei

${}b=\sum _{i=0}^{n}b_{i}10^{i}=b_{n}\cdots b_{1}b_{0}\,$

die Dezimaldarstellung von ${}b$. Dann nennt man

$\pm b_{n}\cdots b_{k}{,}b_{k-1}\cdots b_{1}b_{0}$

die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.

Frage:

Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.

Antwort:

Es sei ein Dezimalbruch

${\frac {a}{10^{k}}}$

mit ${}a=\pm b\in \mathbb {Z}$, ${}b\in \mathbb {N}$, und ${}k\in \mathbb {N}$ gegeben, und es sei

${}b=\sum _{i=0}^{n}b_{i}10^{i}=b_{n}\cdots b_{1}b_{0}\,$

die Dezimaldarstellung von ${}b$. Dann nennt man

$\pm b_{n}\cdots b_{k},b_{k-1}\cdots b_{1}b_{0}$

die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.

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Prozent

Rationale Zahl/Prozent/Definition

Ein Prozent ist ${}{\frac {1}{100}}$.

Frage:

Ein Prozent.

Antwort:

Ein Prozent ist ${}{\frac {1}{100}}$.

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Promille

Rationale Zahl/Promille/Definition

Ein Promille ist ${}{\frac {1}{1000}}$.

Frage:

Ein Promille.

Antwort:

Ein Promille ist ${}{\frac {1}{1000}}$.

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(Ganzzahlige) Exponentialfunktion

Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Frage:

Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.

Antwort:

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

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Folge

Menge/Folge/Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n},$

nennt man auch eine Folge in ${}M$. Eine Folge wird häufig in der Form

${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

geschrieben.

Frage:

Eine Folge in einer Menge ${}M$.

Antwort:

Eine Folge in ${}M$ ist eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$

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Dezimalbruchfolge

Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ und

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$

heißt Dezimalbruchfolge.

Frage:

Eine Dezimalbruchfolge ${}x_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in einem angeordneten Körper ${}K$.

Antwort:

Eine Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ und

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$

heißt Dezimalbruchfolge.

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Konvergenz einer Folge

Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Frage:

Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.

Antwort:

Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

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