Kurs:Körper- und Galoistheorie/15/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	0	1	3	0	3	0	0	0	6	0	0	0	3	0	4	30

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Linksnebenklasse von ${}x$ in einer Gruppe ${}G$ bezüglich einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
3. Der Frobeniushomomorphismus auf einem kommutativen Ring ${}R$ mit positiver Charakteristik.
4. Eine (endliche) Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Ein Charakter eines Monoids ${}M$ in einem Körper ${}K$.
6. Der Transzendenzgrad einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Lösung

1. Die Teilmenge

   ${}xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$

   heißt die Linksnebenklasse von ${}x$ in ${}G$ bezüglich ${}H$.

2. Eine Abbildung

   $\psi \colon G\longrightarrow H$

   heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

   ${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

   für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

3. Der Frobeniushomomorphismus ist der durch

   $R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

   gegebene Ringhomomorphismus.

4. Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt eine Galoiserweiterung, wenn

   ${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$

   gilt.

5. Ein Charakter ist ein Monoidhomomorphismus

   $\chi \colon M\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot ).$

6. Man nennt die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$ den Transzendenzgrad von ${}L$ über ${}K$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes ${}g\in G$ in einer endlichen Gruppe ${}G$.
2. Der Satz vom primitiven Element.
3. Der Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.

Lösung

1. Die Ordnung von ${}g$ teilt die Ordnung der Gruppe.
2. Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung. Dann wird ${}L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein ${}f\in L$ mit

   ${}L=K(f)\cong K[X]/(P)\,$

   mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom ${}P\in K[X]$.
3. Sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann ist ${}K\subseteq L$ genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn ${}L$ Zerfällungskörper eines Polynoms ${}F\in K[X]$ ist.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei

${}P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von ${}P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${}{\frac {\pi }{2}}$?

Lösung

1. Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit ${}24$ multiplizieren und ${}y=x^{2}$ setzen. Es ist

   ${}y^{2}-12y+24={\left(y-6\right)}^{2}-36+24={\left(y-6\right)}^{2}-12=0\,$

   zu lösen, also ist

   ${}y_{1,2}=\pm {\sqrt {12}}+6\,.$

   Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist

   ${}y=6-{\sqrt {12}}\,.$

   Somit ist

   ${}x={\sqrt {6-{\sqrt {12}}}}\,$

   die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.

2. Da die Kosinusreihe gleich ${}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$ ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da ${}\pi /2$ die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L$ ein ${}K$- Vektorraum ist.

Lösung

Die Skalarmultiplikation

$K\times L\longrightarrow L,\,(\lambda ,x)\longmapsto \lambda x,$

wird einfach durch die Multiplikation in ${}L$ gegeben. Die Vektorraumaxiome folgen dann direkt aus den Körperaxiomen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}\zeta$ eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper ${}L$. Zeige, dass die Elemente

$\zeta +\zeta ^{8},\,\,\zeta ^{2}+\zeta ^{7}\,{\text{ und }}\,\zeta ^{4}+\zeta ^{5}$

die Nullstellen des Polynoms ${}X^{3}-3X+1$ sind.

Lösung

Es ist ${}\zeta ^{3}$ eine primitive dritte Einheitswurzel und daher ist

${}1+\zeta ^{3}+\zeta ^{6}=0\,.$

Uner Verwendung dieser Beobachtung ist

${}{\begin{aligned}{\left(\zeta +\zeta ^{8}\right)}^{3}-3{\left(\zeta +\zeta ^{8}\right)}+1&=\zeta ^{3}+3\zeta ^{2}\zeta ^{8}+3\zeta \zeta ^{16}+\zeta ^{24}-3\zeta -3\zeta ^{8}+1\\&=\zeta ^{3}+3\zeta ^{10}+3\zeta ^{17}+\zeta ^{24}-3\zeta -3\zeta ^{8}+1\\&=\zeta ^{3}+3\zeta +3\zeta ^{8}+\zeta ^{6}-3\zeta -3\zeta ^{8}+1\\&=\zeta ^{3}+\zeta ^{6}+1\\&=0.\end{aligned}}$

Da primitive Einheitswurzeln grundsätzlich gleichberechtigt sind und da es sich bei allen drei Elementen um die Summe einer primitiven neunten Einheitswurzel mit seinem Inversen handelt, gilt die entsprechende Gleichung auch für die beiden anderen Elemente.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.

Lösung

Betrachte die Linksnebenklassen ${}gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche ${}g\in G$. Es ist

$H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$

eine Bijektion zwischen ${}H$ und ${}gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${}{\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von ${}G$, sodass ${}{\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${}{\#\left(H\right)}$ sein muss.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta _{5}]$ mit ${}\zeta _{5}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ nicht graduierbar ist.

Lösung

Die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers ${}K$ ist isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(4)$. Als Graduierung kommen nur die beiden Gruppen ${}\mathbb {Z} /(4)$ und ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ in Frage. Im zweiten Fall würde aber die Automorphismengruppe nach Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Untergruppe der Form ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ enthalten, was ausgeschlossen ist. Die einzig verbleibende Möglichkeit wäre also ${}\mathbb {Z} /(4)$ als graduierende Gruppe, und dann wäre

${}K\cong \mathbb {Q} [U]/{\left(U^{4}-c\right)}\,$

mit einem ${}c\in \mathbb {Q}$. Der erzeugende Automorphismus ${}\varphi$ schickt ${}U$ auf ein ${}\varphi (U)$, das ebenfalls

${}{\left(\varphi (U)\right)}^{4}=c\,$

erfüllt. Somit ist

${}{\left({\frac {U}{\varphi (U)}}\right)}^{4}=1\,.$

Dabei ist

${}{\frac {U}{\varphi (U)}}=-1\,$

ausgeschlossen, da andernfalls

${}\varphi (U)=-U\,$

wäre und der Homomorphismus die Ordnung ${}2$ hätte. Also ist

${}{\frac {U}{\varphi (U)}}=\pm {\mathrm {i} }\,.$

Der fünfte Kreisteilungskörper enthält aber nicht die imaginäre Einheit.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.

Lösung

Induktion über ${}n$. Für ${}n=1$ ist ${}\Phi _{1}=X-1\in \mathbb {Z} [X]$. Für beliebiges ${}n$ betrachten wir die in Lemma 19.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) bewiesene Darstellung

${}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}={\left(\prod _{d{|}n,\,d\neq n}\Phi _{d}\right)}\cdot \Phi _{n}\,.$

Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in ${}\mathbb {Z}$. Daraus folgt mit Aufgabe 18.11 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), dass auch ${}\Phi _{n}$ Koeffizienten in ${}\mathbb {Z}$ besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Gerade ${}G$ gegeben, auf der zwei Punkte als ${}0$ und ${}1$ ausgezeichnet seien, sodass man diese Gerade mit den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen ${}a$ und ${}b$ auf ${}G$ gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, sodass das Produkt wieder auf ${}G$ liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.

Lösung

Man zeichnet eine senkrechte Gerade ${}H$ zu ${}G$ durch den Nullpunkt. Mit dem Zirkel schlägt man Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch ${}1$, ${}a$ und ${}b$ und markiert die entsprechenden Punkte auf ${}H$ als ${}1'$, ${}a'$ und ${}b'$. Dabei wählt man ${}1'$ als einen der beiden Schnittpunkte und ${}a'$ und ${}b'$ müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Jetzt zeichnet man die Gerade ${}P$ durch ${}a$ und ${}1'$ und dazu die parallele Gerade ${}P'$ durch ${}b'$. Diese Gerade schneidet ${}G$ in genau einem Punkt ${}x$. Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Streckenverhältnis

${}x:a=b':1'=b:1\,.$

Also ist ${}x=ab$.