Kurs:Körper- und Galoistheorie/15/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 0 1 3 0 3 0 0 0 6 0 0 0 3 0 4 30




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Linksnebenklasse von in einer Gruppe bezüglich einer Untergruppe .
  2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  3. Der Frobeniushomomorphismus auf einem kommutativen Ring mit positiver Charakteristik.
  4. Eine (endliche) Galoiserweiterung .
  5. Ein Charakter eines Monoids in einem Körper .
  6. Der Transzendenzgrad einer Körpererweiterung .


Lösung

  1. Die Teilmenge

    heißt die Linksnebenklasse von in bezüglich .

  2. Eine Abbildung

    heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

    für alle gilt.

  3. Der Frobeniushomomorphismus ist der durch

    gegebene Ringhomomorphismus.

  4. Eine endliche Körpererweiterung heißt eine Galoiserweiterung, wenn

    gilt.

  5. Ein Charakter ist ein Monoidhomomorphismus
  6. Man nennt die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von über den Transzendenzgrad von über .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
  2. Der Satz vom primitiven Element.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.


Lösung

  1. Die Ordnung von teilt die Ordnung der Gruppe.
  2. Sei eine endliche separable Körpererweiterung. Dann wird von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein mit
    mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom .
  3. Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann ist genau dann eine normale Körpererweiterung, wenn Zerfällungskörper eines Polynoms ist.


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Lösung

  1. Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit multiplizieren und setzen. Es ist

    zu lösen, also ist

    Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist

    Somit ist

    die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.

  2. Da die Kosinusreihe gleich ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein -Vektorraum ist.


Lösung

Die Skalarmultiplikation

wird einfach durch die Multiplikation in gegeben. Die Vektorraumaxiome folgen dann direkt aus den Körperaxiomen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper . Zeige, dass die Elemente

die Nullstellen des Polynoms sind.


Lösung

Es ist eine primitive dritte Einheitswurzel und daher ist

Uner Verwendung dieser Beobachtung ist

Da primitive Einheitswurzeln grundsätzlich gleichberechtigt sind und da es sich bei allen drei Elementen um die Summe einer primitiven neunten Einheitswurzel mit seinem Inversen handelt, gilt die entsprechende Gleichung auch für die beiden anderen Elemente.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.


Lösung

Betrachte die Linksnebenklassen für sämtliche . Es ist

eine Bijektion zwischen und , so dass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von , so dass ein Vielfaches von sein muss.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper mit nicht graduierbar ist.


Lösung

Die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers ist isomorph zu . Als Graduierung kommen nur die beiden Gruppen und in Frage. Im zweiten Fall würde aber die Automorphismengruppe nach Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Untergruppe der Form enthalten, was ausgeschlossen ist. Die einzig verbleibende Möglichkeit wäre also als graduierende Gruppe, und dann wäre

mit einem . Der erzeugende Automorphismus schickt auf ein , das ebenfalls

erfüllt. Somit ist

Dabei ist

ausgeschlossen, da andernfalls

wäre und der Homomorphismus die Ordnung hätte. Also ist

Der fünfte Kreisteilungskörper enthält aber nicht die imaginäre Einheit.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.


Lösung

Induktion über . Für ist . Für beliebiges betrachten wir die in Lemma 19.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) bewiesene Darstellung

Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in . Daraus folgt mit Aufgabe 18.11 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), dass auch Koeffizienten in besitzt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Gerade gegeben, auf der zwei Punkte als und ausgezeichnet seien, so dass man diese Gerade mit den reellen Zahlen identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen und auf gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, so dass das Produkt wieder auf liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.


Lösung

Man zeichnet eine senkrechte Gerade zu durch den Nullpunkt. Mit dem Zirkel schlägt man Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt durch ,  und und markiert die entsprechenden Punkte auf als ,  und . Dabei wählt man als einen der beiden Schnittpunkte und und müssen dann auf den entsprechenden Halbgeraden sein. Jetzt zeichnet man die Gerade durch und und dazu die parallele Gerade durch . Diese Gerade schneidet in genau einem Punkt . Für diesen Punkt gilt nach dem Strahlensatz das Streckenverhältnis

Also ist .