Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 12

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zeige, dass zu einem Untermonoid der -Vektorraum

ein Unterring von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass die Menge

ein Untermonoid von ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte -Algebra. Es sei eine homogene Einheit vom Grad . Zeige, dass das inverse Element homogen vom Grad ist.


Aufgabe

Wir betrachten die -graduierte -Algebra

  1. Berechne das Inverse von
  2. Berechne
  3. Berechne
  4. Bestimme graduierte Unterringe von .


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass zu einem Untermonoid der -Vektorraum

ein Unterkörper von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass eine quadratische Körpererweiterung graduiert ist.


Aufgabe

Es sei die dritte komplexe Einheitswurzel. Zeige, dass die Körpererweiterung

graduiert ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine -graduierte Körpererweiterung einfach ist.


Aufgabe

Es sei eine -graduierte Körpererweiterung, wobei nicht zyklisch sei. Zeige, dass die Körpererweiterung nicht von einem homogenen Element erzeugt wird.


Aufgabe *

Es seien verschiedene Primzahlen und

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad . Bestimme, ob die folgenden Elemente die -Algebra erzeugen oder nicht.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung

  1. Bestimme das Minimalpolynom von .
  2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung gleich ist.
  3. Finde einen echten Zwischenkörper
  4. Zeige, dass eine -graduierte Körpererweiterung von ist.
  5. Zeige, dass eine - graduierte Körpererweiterung von ist. Durch welche Untergruppe von wird beschrieben?


Aufgabe

Sei eine Gruppe, ein Körper und die Charaktergruppe zu . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. ist eine kommutative Gruppe.
  2. Bei einer direkten Gruppenzerlegung ist .


Aufgabe

Sei eine endliche Gruppe, ein Körper und ein Charakter. Zeige, dass für jedes eine Einheitswurzel in ist.


Aufgabe *

Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .

  1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

    durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus

    definiert wird.

  2. Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei

    ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe und ein Körper.

a) Zeige, dass durch

ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von in das Doppeldual gegeben ist.

b) Es sei nun endlich und es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.

Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung heißt Evaluierungsabbildung (zu ).

Aufgabe

Es sei eine endliche kommutative Gruppe und es sei ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung

die einer Untergruppe von eine Untergruppe von zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

ist .

c) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe

Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten , und es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen

und

(zwischen den Untergruppen von und den Untergruppen von ) zueinander invers sind.


Aufgabe

Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten , und es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass in der in Aufgabe 12.17 beschriebenen Korrespondenz zwischen den Untergruppen von und von Durchschnitte von Untergruppen in die Summe von Untergruppen überführt werden. Es gilt also


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein homogenes Polynom. Zeige: zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in Variablen genau Monome vom Grad gibt.


Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte -Algebra. Ein -Automorphismus

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element gilt .


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zeige, dass der in Lemma 12.15 zu einem Charakter eingeführte Automorphismus

homogen ist.


Aufgabe

Wir betrachten die -graduierte Körpererweiterung

und den durch , , , gegebenen Charakter. Bestimme


Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung

mit gemäß Beispiel 12.9. Zeige, dass die Galoisgruppe isomorph zu ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die Körpererweiterung

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung .

b) Beschreibe eine möglichst einfache -Basis von .

c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?

d) Bestimme die -Automorphismen von .

e) Bestimme das Minimalpolynom von .


Aufgabe

Es sei die Menge der stetigen geraden Funktionen und die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von nach . Zeige, dass

eine -graduierte -Algebra ist.


Aufgabe

Bestimme die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers

mit .


Aufgabe *

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper mit nicht graduierbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Es sei

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter mit gibt, wobei der gemäß Lemma 12.15 zu gehörige Automorphismus ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Körpererweiterung

Zeige, dass einerseits und andererseits , , eine -Basis von bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es gibt eine stetige Funtion

    mit für alle .

  2. Für alle -ten Einheitswurzeln (alle ) ist für alle .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
  2. Zu jedem Primpotenzteiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
  3. Zu jedem Teiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
  4. Zu jeder Ordnung eines Elementes besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei eine endliche kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Es sei ein Körper.

a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus

gleich ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass surjektiv ist.



<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)