Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und $A = ⨁_{d \in D} A_{d}$ eine $D$ -graduierte $K$ -Algebra. Es sei $f \in A$ eine homogene Einheit vom Grad $d$ . Zeige, dass das inverse Element $f^{- 1}$ homogen vom Grad $- d$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die $ℤ / (10)$ -graduierte $ℚ$ -Algebra

L = ℚ [X] / (X^{10} - 5) = ℚ \oplus 5^{\frac{1}{10}} \cdot ℚ \oplus 5^{\frac{2}{10}} \cdot ℚ \oplus 5^{\frac{3}{10}} \cdot ℚ \oplus \dots \oplus 5^{\frac{8}{10}} \cdot ℚ \oplus 5^{\frac{9}{10}} \cdot ℚ .

Berechne das Inverse von
$5^{\frac{1}{10}} .$
Berechne
${(5^{\frac{7}{10}})}^{4} .$
Berechne
$(\frac{2}{7} - \frac{4}{3} \cdot 5^{\frac{3}{10}} - 5 \cdot 5^{\frac{8}{10}}) (\frac{2}{3} + \frac{5}{4} \cdot 5^{\frac{5}{10}} + 4 \cdot 5^{\frac{7}{10}} - \frac{1}{2} \cdot 5^{\frac{9}{10}}) .$
Bestimme graduierte Unterringe von $L$ .

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K \subseteq L$ eine $D$ -graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass zu einem Untermonoid $M \subseteq D$ der $K$ -Vektorraum

⨁_{d \in M} L_{d}

ein Unterkörper von $L$ ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$ . Zeige, dass eine quadratische Körpererweiterung $K \subseteq L$ graduiert ist.

Aufgabe

Es sei $ϵ = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Zeige, dass die Körpererweiterung

ℚ \subseteq ℚ [ϵ] = L \subseteq ℂ

graduiert ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine $ℤ / (n)$ -graduierte Körpererweiterung einfach ist.

Aufgabe

Es sei $K \subseteq L$ eine $D$ -graduierte Körpererweiterung, wobei $D$ nicht zyklisch sei. Zeige, dass die Körpererweiterung nicht von einem homogenen Element erzeugt wird.

Aufgabe *

Es seien $p, q \in ℤ$ verschiedene Primzahlen und

ℚ \subseteq ℚ [\sqrt{p}, \sqrt{q}] = L

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad $4$ . Bestimme, ob die folgenden Elemente die $ℚ$ -Algebra $L$ erzeugen oder nicht.

$\sqrt{p}$ ,
$\sqrt{p} + \sqrt{q}$ ,
$\sqrt{p q}$ ,
$\sqrt{p} + \sqrt{p q}$ .

Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung

ℚ \subseteq ℚ [\sqrt[4]{7} i] = L .

Bestimme das Minimalpolynom von $\sqrt[4]{7} i$ .
Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung $ℚ \subseteq L$ gleich $4$ ist.
Finde einen echten Zwischenkörper
$ℚ \subset M \subset L .$
Zeige, dass $L$ eine $ℤ / (4)$ -graduierte Körpererweiterung von $ℚ$ ist.
Zeige, dass $L [i] = ℚ [\sqrt[4]{7}, i]$ eine $ℤ / (4) \times ℤ / (2)$ - graduierte Körpererweiterung von $ℚ$ ist. Durch welche Untergruppe von $ℤ / (4) \times ℤ / (2)$ wird $L$ beschrieben?

Aufgabe

Es sei $D$ eine Gruppe, $K$ ein Körper und $D^{\lor} = Char (D, K)$ die Charaktergruppe zu $D$ . Beweise die folgenden Aussagen.

$D^{\lor}$ ist eine kommutative Gruppe.
Bei einer direkten Gruppenzerlegung $D = D_{1} \times D_{2}$ ist $(D_{1} \times D_{2})^{\lor} = D_{1}^{\lor} \times D_{2}^{\lor}$ .

Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche Gruppe, $K$ ein Körper und $χ \in D^{\lor} = Char (D, K)$ ein Charakter. Zeige, dass $χ (d)$ für jedes $d \in D$ eine Einheitswurzel in $K$ ist.

Aufgabe *

Es seien $D_{1}$ und $D_{2}$ kommutative Gruppen und seien $D_{1}^{\lor}$ und $D_{2}^{\lor}$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper $K$ .

Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus
$φ : D_{1} ⟶ D_{2}$

durch die Zuordnung $χ \mapsto χ \circ φ$ ein Gruppenhomomorphismus

$φ^{\lor} : D_{2}^{\lor} ⟶ D_{1}^{\lor}$

definiert wird.
Es sei $D_{3}$ eine weitere kommutative Gruppe und sei
$ψ : D_{2} ⟶ D_{3}$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

$(ψ \circ φ)^{\lor} = φ^{\lor} \circ ψ^{\lor} .$

Aufgabe

Es sei $D$ eine kommutative Gruppe und $K$ ein Körper.

a) Zeige, dass durch

D ⟶ (D^{\lor})^{\lor}, d ⟼ ({ev}_{d} : χ \mapsto χ (d)),

ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von $D$ in das Doppeldual $(D^{\lor})^{\lor}$ gegeben ist.

b) Es sei nun $D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$ -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.

Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung ${ev}_{d}$ heißt Evaluierungsabbildung (zu $d$ ).

Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe und es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung

E ⟼ E^{⊥} = {χ \in D^{\lor} ∣ χ (d) = 1 für alle d \in E},

die einer Untergruppe von $D$ eine Untergruppe von $D^{\lor}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

D ⟶ (D^{\lor})^{\lor}, d ⟼ ({ev}_{d} : χ \mapsto χ (d)),

ist ${ev}_{d} (E) \subseteq (E^{⊥})^{⊥}$ .

c) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$ -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei. Zeige, dass dann ${ev}_{d} (E) = (E^{⊥})^{⊥}$ gilt.

Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$ , und es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $m$ -te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen

E ⟼ E^{⊥} = {χ \in D^{\lor} ∣ χ (d) = 1 für alle d \in E}

und

H ⟼ H^{⊥} = {d \in D ∣ χ (d) = 1 für alle χ \in H}

(zwischen den Untergruppen von $D$ und den Untergruppen von $D^{\lor}$ ) zueinander invers sind.

Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$ , und es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $m$ -te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass in der in Aufgabe 12.17 beschriebenen Korrespondenz zwischen den Untergruppen von $D$ und von $D^{\lor}$ Durchschnitte von Untergruppen in die Summe von Untergruppen überführt werden. Es gilt also

(E_{1} \cap E_{2})^{⊥} = E_{1}^{⊥} + E_{2}^{⊥} .

Aufgabe *

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $F \in K [X, Y]$ ein homogenes Polynom. Zeige: $F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe

Zeige, dass es im Polynomring in $n$ Variablen genau $(\binom{d + n - 1}{n - 1})$ Monome vom Grad $d$ gibt.

Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$ -graduierte $K$ -Algebra. Ein $K$ -Automorphismus

φ : A ⟶ A

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element $a \in A_{d}$ gilt $φ (a) \in A_{d}$ .

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$ -graduierte kommutative $K$ -Algebra. Zeige, dass der in Lemma 12.15 zu einem Charakter $χ \in D^{\lor}$ eingeführte Automorphismus

φ_{χ} : A ⟶ A

homogen ist.

Aufgabe

Wir betrachten die $ℤ / (2) \times ℤ / (2) \times ℤ / (2)$ -graduierte Körpererweiterung

ℚ \subseteq ℚ [\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}]

und den durch $χ (e_{1}) = - 1$ , $χ (e_{2}) = 1$ , $χ (e_{3}) = - 1$ , gegebenen Charakter. Bestimme

φ_{χ} (3 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{5} + 6 \sqrt{7} + \sqrt{15} - 4 \sqrt{21} + 3 \sqrt{35} - 5 \sqrt{105}) .

Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung

ℚ \subseteq L := ℚ [i, \sqrt{2}] = ℚ [ζ_{8}]

mit $ζ_{8} = \frac{1}{2} (\sqrt{2} + \sqrt{2} i)$ gemäß Beispiel 12.9. Zeige, dass die Galoisgruppe isomorph zu $ℤ / (2) \times ℤ / (2)$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Körpererweiterung

ℚ \subseteq ℚ [\sqrt{3}, i] = L .

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung $ℚ \subseteq L$ .

b) Beschreibe eine möglichst einfache $ℚ$ -Basis von $L$ .

c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?

d) Bestimme die $ℚ$ -Automorphismen von $L$ .

e) Bestimme das Minimalpolynom von $\sqrt{3} + i$ .

Aufgabe

Es sei $G$ die Menge der stetigen geraden Funktionen und $U$ die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ . Zeige, dass

C^{0} (ℝ, ℝ) = G \oplus U

eine $ℤ / (2)$ -graduierte $ℝ$ -Algebra ist.

Aufgabe

Bestimme die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers

ℚ \subseteq ℚ [ζ_{5}]

mit $ζ_{5} = e^{2 π i / 5}$ .

Aufgabe *

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper $ℚ \subseteq ℚ [ζ_{5}]$ mit $ζ_{5} = e^{2 π i / 5}$ nicht graduierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$ -graduierte kommutative $K$ -Algebra. Es sei

φ : A ⟶ A

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter $χ \in D^{\lor}$ mit $φ = φ_{χ}$ gibt, wobei $φ_{χ}$ der gemäß Lemma 12.15 zu $χ$ gehörige Automorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Körpererweiterung

ℚ \subset ℚ [\sqrt{5}, \sqrt{7}] = L .

Zeige, dass einerseits $1, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{35}$ und andererseits $(\sqrt{5} + \sqrt{7})^{i}$ , $i = 0, 1, 2, 3$ , jeweils eine $ℚ$ -Basis von $L$ bilden. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

f : ℂ ⟶ ℂ

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

Es gibt eine stetige Funktion
$g : ℝ_{\geq 0} ⟶ ℂ$

mit $f (z) = g (| z |)$ für alle $z \in ℂ$ .
Für alle $n$ -ten Einheitswurzeln $ζ \in ℂ$ (alle $n \in ℕ$ ) ist $f (ζ z) = f (z)$ für alle $z \in ℂ$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$ . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

$K$ besitzt eine $m$ -te primitive Einheitswurzel.
Zu jedem Primpotenzteiler $p^{r}$ von $m$ besitzt $K$ eine $p^{r}$ -te primitive Einheitswurzel.
Zu jedem Teiler $n$ von $m$ besitzt $K$ eine $n$ -te primitive Einheitswurzel.
Zu jeder Ordnung $n$ eines Elementes $d \in D$ besitzt $K$ eine $n$ -te primitive Einheitswurzel.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $E \subseteq D$ eine Untergruppe. Es sei $K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus

ψ : D^{\lor} ⟶ E^{\lor}, χ ⟼ χ |_{E},

gleich $E^{⊥}$ ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$ -te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei. Zeige, dass $ψ$ surjektiv ist.

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