Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 1

Kommutative Ringe

Definition

Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$ .

Definition

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Das erste Beispiel ist der (kommutative) Ring der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ . Wir verwenden wie üblich die Konvention, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition und schreiben in der Regel ${}ab$ anstatt ${}a\cdot b$ .

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}a,b,c$ Elemente aus ${}R$ .

Dann gelten folgende Aussagen.

${}0a=0\,$

(Annullationsregel),

${}a(-b)=-(ab)=(-a)b\,,$

${}(-a)(-b)=ab\,$

(Vorzeichenregel),

${}a(b-c)=ab-ac\,.$

Beweis

Es ist ${}a0=a(0+0)=a0+a0$ . Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit $-a0$ ) von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.
${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$ .
Nach (2) ist ${}(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen ${}-(-a)=a$ folgt die Behauptung.
Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus ${}R$ .

Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz

${}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 1.1.

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Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$ . Ferner sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$

Beweis

Wir führen Induktion nach ${}n$ . Für ${}n=0$ steht einerseits ${}(a+b)^{0}=1$ und andererseits ${}a^{0}b^{0}=1$ . Es sei die Aussage bereits für ${}n$ bewiesen. Dann ist

{}{\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}

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Definition

Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl ${}(S,+,0)$ eine Untergruppe von ${}(R,+,0)$ als auch ${}(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von ${}(R,\cdot ,1)$ ist.

Teilbarkeitsbegriffe

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$ . Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$ .

Lemma

In einem kommutativen Ring ${}R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

Für jedes Element ${}a$ gilt ${}1\,{|}\,a$ und ${}a\,{|}\,a$ .
Für jedes Element ${}a$ gilt ${}a\,{|}\,0$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$ , so gilt auch ${}a\,{|}\,c$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$ , so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ , so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jedes ${}c\in R$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$ , so gilt auch ${}a\,{|}\,rb+sc$ für beliebige Elemente ${}r,s\in R$ .

Beweis

Siehe Aufgabe 1.2.

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Definition

Ein Element ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.

Bemerkung

Eine Einheit ist also ein Element, das die ${}1$ teilt. Das Element ${}v$ mit der Eigenschaft ${}uv=1$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch ${}w$ die Eigenschaft ${}uw=1$ , so ist

{}v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w\,.

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte ${}v$ mit ${}uv=1$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu ${}u$ und bezeichnet es mit ${}u^{-1}$ . Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit ${}1$ als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von ${}R$ nennt. Sie wird mit ${}R^{\times }$ bezeichnet.

In den Ringen, die uns bisher begegnet sind, sind die Einheitengruppen einfach zu bestimmen. Es ist ${}\mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}$ und ${}{\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }=\{1,3\}$ . Im Ring der Gaußschen Zahlen gibt es vier Einheiten: ${}1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$ (siehe später)

Definition

Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.

Bemerkung

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Siehe Aufgabe 1.3.

Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.

Lemma

In einem kommutativen Ring ${}R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

${}-1$ ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.

Jede Einheit teilt jedes Element.

Sind ${}a$ und ${}b$ assoziiert, so gilt ${}a|c$ genau dann, wenn ${}b|c$ .

Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe 1.4.

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Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich vorliegt, sind sie äquivalent.

Definition

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition

Eine Nichteinheit ${}p\neq 0$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn Folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$ , so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass ${}1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die ${}1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist.

Größter gemeinsamer Teiler

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ . Dann heißt ein Element ${}t\in R$ gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ , wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt ( ${}i=1,\ldots ,k$ ). Ein Element ${}g\in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ , wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ heißen teilerfremd, wenn ${}1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

„Größer“ ist hier bezüglich der Teilbarkeitsrelation zu verstehen, wenn ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, so gilt es gemäß diesem Sprachgebrauch als größer. Dies rührt natürlich von der Situation in ${}\mathbb {N}$ her, wo Vielfache in der Tat größer im Sinne der natürlichen Ordnung als die Teiler sind.

Bemerkung

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ist ${}t$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ und ${}u$ eine Einheit, so ist auch ${}ut$ ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ . Ein größter gemeinsamer Teiler muss im Allgemeinen nicht existieren. Die Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ . Ein Element ${}b\in R$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ , wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird. ${}b$ heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ , wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von ${}b$ ist.

Integritätsbereiche

Vor dem nächsten Lemma erinnern wir an den Begriff des Integritätsbereiches. Häufig wird die Teilbarkeitstheorie nur für Integritätsbereiche entwickelt.

Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Ein Nullteiler ist ein Element ${}x$ mit der Eigenschaft, dass es ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}y$ mit ${}xy=0$ gibt. Die Null ist in einem vom Nullring verschieden Ring stets ein Nullteiler. Nullteilerfrei bedeutet, dass die ${}0$ der einzige Nullteiler ist bzw. dass alle von ${}0$ verschiedenen Elemente keine Nullteiler oder Nichtnullteiler sind. Nullteilerfrei kann man auch so formulieren, dass aus einer Gleichung ${}xy=0$ folgt, dass ${}x=0$ oder ${}y=0$ ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$ ein Nichtnullteiler.

Dann folgt aus einer Gleichung

${}fx=fy\,,$

dass ${}x=y$ sein muss.

Beweis

Man kann die Gleichung zu

{}0=fx-fy=f(x-y)\,.

umschreiben. Da ${}f$ ein Nichtnullteiler ist, ist ${}x-y=0$ , also ${}x=y$ .

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Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

In einem Körper sind also alle von ${}0$ verschiedenen Elemente Einheiten (und insbesondere Nichtnullteiler). Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche. In einem Körper ist die Teilbarkeitsbeziehung uninteressant, da jedes von ${}0$ verschiedene Element jedes andere Element teilt.

Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung ${}p=ab$ . Wegen der Primeigenschaft teilt ${}p$ einen Faktor, sagen wir ${}a=ps$ . Dann ist ${}p=psb$ bzw. ${}p(1-sb)=0$ . Da ${}p$ kein Nullteiler ist, folgt ${}1=sb$ , sodass also ${}b$ eine Einheit ist.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper. Aus ${}a\cdot b=0$

folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$ .

Beweis

Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$ . Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach Lemma 1.3 (1)