Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 1

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Kommutative Ringe

Definition  

Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. ist eine abelsche Gruppe.
  2. ist ein Monoid.
  3. Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .

Definition  

Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Das erste Beispiel ist der (kommutative) Ring der ganzen Zahlen . Wir verwenden wie üblich die Konvention, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition und schreiben in der Regel anstatt .



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und seien Elemente aus .

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. (Annullationsregel),

  2. (Vorzeichenregel),

Beweis  

  1. Es ist . Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit ) von ergibt sich die Behauptung.
  2. nach Teil (1). Daher ist das (eindeutig bestimmte) Negative von .

  3. Nach (2) ist und wegen folgt die Behauptung.
  4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.




Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und . Ferner sei eine natürliche Zahl.

Dann gilt

Beweis  

Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist




Teilbarkeitsbegriffe

Definition  

Sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



Lemma

In einem kommutativen Ring gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

  1. Für jedes Element gilt und .
  2. Für jedes Element gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jedes .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .

Beweis

Siehe Aufgabe *****.



Definition  

Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.

Bemerkung  

Eine Einheit ist also ein Element, das die teilt. Das Element mit der Eigenschaft ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch die Eigenschaft , so ist

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte mit nennt man das (multiplikativ) Inverse zu und bezeichnet es mit . Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von nennt. Sie wird mit bezeichnet.


In den Ringen, die uns bisher begegnet sind, sind die Einheitengruppen einfach zu bestimmen. Es ist und . Im Ring der Gaußschen Zahlen gibt es vier Einheiten: , siehe die nächste Vorlesung.


Definition  

Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.

Bemerkung  

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Siehe Aufgabe *****.


Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.


Lemma

In einem kommutativen Ring gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

  1. ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
  2. Jede Einheit teilt jedes Element.
  3. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  4. Teilt eine Einheit, so ist selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe *****.


Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich vorliegt, sind sie äquivalent.


Definition  

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.


Definition  

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass keine Primzahl ist. Dabei ist die nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist.



Integritätsbereiche

Vor dem nächsten Lemma erinnern wir an den Begriff des Integritätsbereiches. Häufig wird die Teilbarkeitstheorie nur für Integritätsbereiche entwickelt.


Definition  

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Ein Nullteiler ist ein Element mit der Eigenschaft, dass es ein von verschiedenes Element mit gibt. Die Null ist in einem vom Nullring verschieden Ring stets ein Nullteiler. Nullteilerfrei bedeutet, dass die der einzige Nullteiler ist bzw. dass alle von verschiedenen Elemente keine Nullteiler oder Nichtnullteiler sind. Nullteilerfrei kann man auch so formulieren, dass aus einer Gleichung folgt, dass oder ist.


Definition  

Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

In einem Körper sind also alle von verschiedenen Elemente Einheiten (und insbesondere Nichtnullteiler). Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche. In einem Körper ist die Teilbarkeitsbeziehung uninteressant, da jedes von verschiedene Element jedes andere Element teilt.



Lemma  

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis  

Angenommen, wir haben eine Zerlegung . Wegen der Primeigenschaft teilt einen Faktor, sagen wir . Dann ist bzw. . Da kein Nullteiler ist, folgt , so dass also eine Einheit ist.



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