Kurs:Lineare Algebra/Teil I/30/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 5 | 6 | 2 | 4 | 3 | 2 | 7 | 3 | 4 | 3 | 10 | 3 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.
Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.
- Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
- Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
- Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
- Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.
Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten Matrizen der Form
- Berechne
- Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
- Bestimme die Determinante von .
- Man gebe eine Matrix der Form
an, die nicht invertierbar ist.
- Sei
invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Basisergänzungssatz.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Quadratabbildung
für verschiedene Körper .
- Ist linear für
- Ist linear für
dem Körper mit zwei Elementen.
- Es sei nun ein Körper, in dem gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist linear? Ist verträglich mit der Addition?
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei
eine multilineare Abbildung. Es seien . Ziehe in
Summen und Skalare nach außen.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (7 (1+3+3) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass
ist und alle anderen Einträge sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
b) Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
c) Zeige, dass
ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es sei ein - dimensionaler Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Polynom für unendlich viele reelle - Matrizen das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom ist.
Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.
- Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
- Die Scherung, die durch die Matrix gegeben ist.
- Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
- Die Streckung mit dem Faktor .
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen