Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 5 5 4 4 1 4 6 5 11 3 5 2 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Eine -Matrix über einem Körper .
  3. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  4. Eine Projektion

    auf einem -Vektorraum .

  5. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .
  6. Eine affine Basis in einem affinen Raum über einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
  2. Die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
  3. Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel

für und beliebige Elemente in einem Körper .


Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte die reellen Zahlen als -Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume in einem Vektorraum derart, dass ist, dass für ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Zeige .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix

nicht invertierbar ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe * (11 (3+3+2+3) Punkte)

Es sei ein Körper und seien

Elemente, die nicht alle gleich seien. Wir betrachten die -Matrix

wobei die Einträge durch

gegeben sind.

a) Bestimme den Rang der Matrix .

b) Zeige, dass der Vektor ein Eigenvektor zu ist und bestimme den zugehörigen Eigenwert.

c) Zeige, dass bei diagonalisierbar ist.


d) Zeige, dass bei nicht diagonalisierbar sein muss.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe eine Matrix der Ordnung an.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine nilpotente -Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne eine Fahne in bilden.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien und affine Räume über mit Punkten und . Zeige, dass im Produktraum die baryzentrische Beziehung

gilt.