Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 5 | 2 | 4 | 5 | 4 | 4 | 5 | 2 | 7 | 10 | 6 | 1 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
- Die durch eine -Matrix
festgelegte lineare Abbildung
zwischen - Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .
- Die
Determinante
eines Endomorphismus
auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .
- Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring .
- Die
algebraische Vielfachheit
von einem
Eigenwert
zu einer
linearen Abbildung
auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum .
- Ein affiner Unterraum in einem affinen Raum über dem - Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über isomorphe Vektorräume.
- Der Nulltest mittels Linearformen.
- Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.
Aufgabe * (3 Punkte)
Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus folgt “.
Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)
Es seien und nichtleere Mengen und
Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also
a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
Man gebe Beispiele für derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme den Kern der durch die Matrix
gegebenen linearen Abbildung
Aufgabe * (4 Punkte)
Für eine - Matrix sei
Zeige die Gleichheit
direkt, ohne die Gleichheit zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element.
a) Zeige, dass
ein Ideal ist.
b) Bestimme ein Polynom mit
Aufgabe * (2 Punkte)
Es seien Vektorräume über dem Körper und
lineare Abbildungen. Es sei ein Eigenwert zu für ein bestimmtes . Zeige, dass auch ein Eigenwert zur Produktabbildung
ist.
Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)
Es sei
eine Matrix über einem Körper .
a) Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ist.
b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich sind.
Aufgabe * (10 Punkte)
Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Matrix
über .
a) Bestimme die jordansche Normalform von .
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
welche nicht?
Aufgabe * (1 Punkt)