Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 5 2 4 5 4 4 5 2 7 10 6 1 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Die durch eine -Matrix festgelegte lineare Abbildung

    zwischen -Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .

  3. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .

  4. Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring .
  5. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Ein affiner Unterraum in einem affinen Raum über dem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über isomorphe Vektorräume.
  2. Der Nulltest mittels Linearformen.
  3. Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.


Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus folgt “.


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien und nichtleere Mengen und

Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also

a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

Man gebe Beispiele für derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe * (4 Punkte)

Für eine -Matrix sei

Zeige die Gleichheit

direkt, ohne die Gleichheit zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element.

a) Zeige, dass

ein Ideal ist.

b) Bestimme ein Polynom mit


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Vektorräume über dem Körper und

lineare Abbildungen. Es sei ein Eigenwert zu für ein bestimmtes . Zeige, dass auch ein Eigenwert zur Produktabbildung

ist.


Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Es sei

eine Matrix über einem Körper .

a) Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich sind.


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über .

a) Bestimme die jordansche Normalform von .

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

welche nicht?


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob im der Ausdruck

eine baryzentrische Kombination ist.