Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 3 | 5 | 2 | 4 | 5 | 4 | 4 | 5 | 2 | 7 | 10 | 6 | 1 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus folgt “.
Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und nichtleere Mengen und
Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also
a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren
Man gebe Beispiele für derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme den Kern der durch die Matrix
gegebenen linearen Abbildung
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Für eine - Matrix sei
Zeige die Gleichheit
direkt, ohne die Gleichheit zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element.
a) Zeige, dass
ein Ideal ist.
b) Bestimme ein Polynom mit
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien Vektorräume über dem Körper und
lineare Abbildungen. Es sei ein Eigenwert zu für ein bestimmtes . Zeige, dass auch ein Eigenwert zur Produktabbildung
ist.
Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine Matrix über einem Körper .
a) Zeige, dass es eine zu ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ist.
b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich sind.
Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Matrix
über .
a) Bestimme die jordansche Normalform von .
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
welche nicht?
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen