Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 17

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei eine invertierbare -Matrix. Zeige




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix, wobei die Spalten von linear abhängig seien. Zeige, dass die Spalten von ebenfalls linear abhängig sind.


Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Aufgabe *

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zu heißt die lineare Abbildung

die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor .


Aufgabe

Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum ?


Aufgabe


Die beiden folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des Gruppenhomomorphismus.

Seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Definiere injektive Gruppenhomomorphismen


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Betrachte die Matrix

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix mit Einträgen aus und

der zugehörige Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn die Determinante von gleich oder gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass man die Determinante nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.


Aufgabe

Man berechne die Determinante der Matrix

indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien lineare Abbildungen. Zeige .


Aufgabe *

Löse das lineare Gleichungssystem

mit Hilfe der Cramerschen Regel.


Aufgabe

Betrachte die Matrix

Löse das lineare Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel (man überlege sich natürlich vorher, ob man diese Regel überhaupt anwenden darf).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (12 (3+1+1+1+2+2+2) Punkte)

Die Sarrusminante einer -Matrix berechnet sich, indem man die ersten Spalten der Matrix in der gleichen Reihenfolge an die Matrix anfügt und dann die Produkte der Hauptdiagonalen aufaddiert und die Produkte der Nebendiagonalen davon subtrahiert. Wir beschränken uns auf den Fall . Für eine Matrix

betrachtet man also

und die Sarrusminante ist

1) Zeige, dass die Abbildung

multilinear (in den Zeilen der Matrix) ist.

2) Zeige, dass für -Matrizen, die eine Nullzeile enthalten, die Sarrusminante ist.

3) Zeige, dass für -Matrizen, die eine Nullspalte enthalten, die Sarrusminante ist.

4) Zeige, dass für eine obere Dreiecksmatrix die Sarrusminante das Produkt der Diagonalelemente ist.

5) Zeige, dass die Sarrusminante nicht alternierend ist.

6) Man gebe ein Beispiel für eine invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich ist.

7) Man gebe ein Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Aufgabe (3 Punkte)

Löse mit der Cramerschen Regel das inhomogene lineare Gleichungssystem (über )


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen und sei

eine lineare Abbildung. Wir betrachten auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung

besteht.



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