Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 18

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Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!




Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass man jede endliche Permutation durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne für die Permutation

die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.


Aufgabe

Berechne für die Permutation mit

die Potenzen und und gebe die Zyklendarstellung für diese drei Permutationen an.


Aufgabe *

Betrachte die Permutation , die durch die Wertetabelle

gegeben ist.

  1. Man gebe die Zyklendarstellung von an und bestimme den Wirkungsbereich.
  2. Berechne und die Ordnung von .
  3. Bestimme die Fehlstände von und das Vorzeichen (Signum) von .
  4. Schreibe als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von .


Aufgabe *

Betrachte die beiden Permutationen

und

Berechne und . Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von . Man gebe die Zyklendarstellung von und von an. Was ist die Ordnung von ?


Aufgabe *

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung von in sich selbst.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Erstelle eine Wertetabelle für .
  3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
  4. Bestimme für jedes das minimale mit der Eigenschaft, dass

    ist.

  5. Bestimme das minimale mit der Eigenschaft, dass

    für alle ist.


Aufgabe

Zeige, dass durch die Zuordnung

mit

eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.


Aufgabe

Gabi Hochster, Heinz Ngolo, Lucy Sonnenschein und Mustafa Müller wollen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Wie viele Wichtelmöglichkeiten gibt es?


Aufgabe

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Aufgabe

Es sei eine Menge und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann einen Fixpunkt besitzt, wenn der Durchschnitt des Graphen von mit der Diagonalen nicht leer ist.


Aufgabe

Berechne die Determinanten aller -Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal und zweimal steht.


Aufgabe

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind. Zeige, dass

ist.


Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für eine -Permutationsmatrix, bei der in jeder Diagonalen (Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen) höchstens eine steht.

b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

die Menge aller invertierbaren -Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix


Sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch .




Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Menge und sei eine Partition von , d.h. jedes ist eine Teilmenge von und ist die disjunkte Vereinigung der . Zeige, dass die Produktgruppe

eine Untergruppe von ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede gerade Permutation , , ein Produkt aus Dreierzykeln ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Zykel der Ordnung . Zeige, dass man als Produkt von Transpositionen schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Wie viele injektive Abbildungen gibt es von nach und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von nach ?


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.16 entspricht.

  1. Ist wachsend?
  2. Ist surjektiv?
  3. Ist injektiv?
  4. Besitzt einen Fixpunkt?



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