Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 31/kontrolle

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Vektorräume mit Skalarprodukt

Im kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorraum vorliegen. Wir diskutieren die beiden Fälle parallel und verwenden als gemeinsame Bezeichnung für bzw. das Symbol . Zu bezeichnet die konjungiert-komplexe Zahl, bei einfach die Zahl selbst.


Definition  Referenznummer erstellen

Sei ein -Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

mit folgenden Eigenschaften:

  1. Es ist

    für alle , und

    für alle , .

  2. Es ist

    für alle .

  3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen im reellen Fall Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist), Symmetrie und positive Definitheit. Im komplexen Fall spricht man von sesquilinear und von hermitesch. Diese auf den ersten Blick unschöne Abweichung muss gemacht werden, um die positive Definitheit zu erhalten, was wiederum die Voraussetzung für einen sinnvollen Abstandsbegriff im Komplexen ist.


Beispiel  Referenznummer erstellen

Auf dem ist die Abbildung

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Eine einfache Rechnung zeigt, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.


Beispielsweise ist im mit dem Standardskalarprodukt


Definition  Referenznummer erstellen

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt besitzt jeder Untervektorraum selbst wieder durch Einschränkung ein Skalarprodukt. Insbesondere ist zu einem euklidischen Vektorraum jeder Untervektorraum selbst wieder ein euklidischer Vektorraum. Jeder Untervektorraum trägt somit das eingeschränkte Standardskalarprodukt. Da es stets eine Isomorphie gibt, kann man auch das Standardskalarprodukt des nach übertragen, doch hängt dies von der gewählten Isomorphie ab und hat im Allgemeinen nichts mit dem eingeschränkten Standardskalarprodukt zu tun.


Definition  Referenznummer erstellen

Das auf dem durch

gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.

Beispielsweise ist

Bemerkung   Referenznummer erstellen

Wenn man einen komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt als reellen Vektorraum auffasst, so ist durch den Realteil

ein reelles Skalarprodukt gegeben, siehe Aufgabe 31.3. Wegen

kann man aus dem Realteil das ursprüngliche Skalarprodukt rekonstruieren.



Beispiel  Beispiel 31.6 ändern

Es sei ein abgeschlossenes reelles Intervall mit und sei

versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen

und erhalten damit ein Skalarprodukt. Die Additivität folgt beispielsweise aus

Die positive Definitheit folgt so: Wenn nicht die Nullfunktion ist, so sei ein Punkt mit . Dann ist und wegen der Stetigkeit von gibt es dann auch eine Umgebung der Länge , auf der überall

ist. Somit ist

positiv.




Norm

Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.


Definition  Referenznummer erstellen

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann nennt man zu einem Vektor die reelle Zahl

die Norm von .

Das Skalarprodukt ist stets reell und nicht negativ und somit ist die Quadratwurzel eine eindeutig bestimmte reelle Zahl. Für einen komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist es gleichgültig, ob man die Norm direkt oder über den zugrunde liegenden reellen Vektorraum bestimmt, siehe Aufgabe 31.11.



Satz  Satz 31.8 ändern

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

für alle .

Beweis  

Bei ist die Aussage richtig. Sei also und damit auch . Damit hat man die Abschätzungen

Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.




Lemma  Lemma 31.9 ändern

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

  1. .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt

Beweis  

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus


Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

Aufgrund von Satz 31.8 ist dies . Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.


Mit der folgenden Aussage, der Polarisationsformel, kann man ein Skalarprodukt aus der Norm rekonstruieren.


Lemma Lemma 31.10 ändern

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

Dann gilt bei die Beziehung

und bei die Beziehung

Beweis

Siehe Aufgabe 31.10.




Normierte Vektorrräume

Aufgrund von Lemma 31.9 ist die Norm zu einem Skalarprodukt eine Norm im Sinne der folgenden Definition und ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist insbesondere ein normierter Vektorraum.


Definition  Referenznummer erstellen

Es sei ein -Vektorraum. Eine Abbildung

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle gelten.

  1. .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt

Definition  Referenznummer erstellen

Ein -Vektorraum heißt normierter Vektorraum, wenn auf ihm eine Norm definiert ist.

Auf einem euklidischen Vektorraum nennt man die über das Skalarprodukt gegebene Norm auch die euklidische Norm. Bei mit dem Standardskalarprodukt ist


Beispiel  Referenznummer erstellen

Im ist durch

eine Norm definiert, die die Maximumsnorm heißt.


Die Summenmetrik heißt auch Taxi-Metrik. Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand.

Beispiel  Referenznummer erstellen

Im ist durch

eine Norm definiert, die die Summennorm heißt.


Zu einem Vektor , , in einem normierten Vektorraum nennt man den Vektor den zugehörigen normierten Vektor. Ein solcher normierter Vektor besitzt die Norm . Der Übergang zum normierten Vektor heißt Normierung.



Normierte Räume als metrische Räume

Definition  Referenznummer erstellen

Sei eine Menge. Eine Abbildung heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. genau dann, wenn ist (Definitheit),
  2. (Symmetrie), und
  3. (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Metrik ist.


Definition  Referenznummer erstellen

Auf einem normierten Vektorraum mit Norm definiert man die zugehörige Metrik durch

Dies ist in der Tat eine Metrik.


Lemma Referenznummer erstellen

Ein normierter Vektorraum ist durch die zugehörige Metrik

ein metrischer Raum.

Beweis

Siehe Aufgabe 31.17.


Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein metrischer Raum.

Bemerkung   Referenznummer erstellen

Ein affiner Raum über einem normierten Vektorraum wird zu einem metrischen Raum, indem man

setzt. Diese Metrik ist invariant unter Translationen.



Beispiel  Referenznummer erstellen

Sei ein

metrischer Raum und eine Teilmenge. Dann ist ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man
setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.

Daher ist insgesamt jede Teilmenge eines affinen Raumes über einem euklidischen oder normierten Vektorraum ein metrischer Raum.