Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 16

Die Determinante

Kann man einer quadratischen $n \times n$ -Matrix „auf einen Blick“ ansehen, ob sie invertierbar ist? Gibt es einen Ausdruck in den $n^{2}$ Einträgen der Matrix, mit dem man dies entscheiden kann? Diese Frage wird positiv durch die Determinante beantwortet.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M = {(a_{i j})}_{i j}$ eine $n \times n$ -Matrix über $K$ . Zu $i \in {1, \dots, n}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n - 1) \times (n - 1)$ -Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$ -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch

det M = {\begin{matrix} a_{11}, & falls n = 1, \\ \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i 1} det M_{i} & für n \geq 2 . \end{matrix}

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine $n$ kann man die Determinante einfach ausrechnen.

Beispiel

Für eine $2 \times 2$ -Matrix

M = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

ist

det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a d - c b .

Beispiel

Für eine $3 \times 3$ -Matrix $M = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})$ ist

\begin{matrix} det (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) & = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} . \end{matrix}

Dies nennt man die Regel von Sarrus.

Lemma

Für eine obere Dreiecksmatrix

M = (\begin{matrix} b_{1} & * & \dots & \dots & * \\ 0 & b_{2} & * & \dots & * \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & b_{n - 1} & * \\ 0 & \dots & \dots & 0 & b_{n} \end{matrix})

ist

$det M = b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1} b_{n} .$

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix $det E_{n} = 1$ .

Beweis

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.

◻

Multilineare und alternierende Abbildungen

Wir führen zwei Begriffe ein, die wir im Moment hauptsächlich zum weiteren Verständnis der Determinante brauchen.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1}, \dots, V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Eine Abbildung

Φ : V_{1} \times \dots \times V_{n} ⟶ W

heißt multilinear, wenn für jedes $i \in {1, \dots, n}$ und jedes $(n - 1)$ -Tupel $(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n})$ mit $v_{j} \in V_{j}$ die induzierte Abbildung

V_{i} ⟶ W, v_{i} ⟼ Φ (v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}),

$K$ -linear ist.

Bei $n = 2$ spricht man auch von bilinear. Beispielsweise ist die Multiplikation in einem Körper $K$ , also die Abbildung

K \times K ⟶ K, (x, y) ⟼ x y,

bilinear. Ebenso ist zu einem $K$ -Vektorraum $V$ mit Dualraum $V^{*}$ die Auswertungsabbildung

V \times V^{*} ⟶ K, (v, f) ⟼ f (v),

bilinear.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1}, \dots, V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Es sei

Φ : V_{1} \times \dots \times V_{n} ⟶ W

eine multilineare Abbildung und es seien $v_{i 1}, \dots, v_{i m_{i}} \in V_{i}$ und $a_{i j_{i}} \in K$ zu $i = 1, \dots, n$ und $j_{i} = 1, \dots, m_{i}$ .

Dann ist

$\begin{matrix} Φ (\sum_{j = 1}^{m_{1}} a_{1 j} v_{1 j}, \dots, \sum_{j = 1}^{m_{n}} a_{n j} v_{n j}) & = \sum_{(j_{1}, \dots, j_{n}) \in {1, \dots, m_{1}} \times \dots \times {1, \dots, m_{n}}} a_{1 j_{1}} \dots a_{n j_{n}} Φ (v_{1 j_{1}}, \dots, v_{n j_{n}}) . \end{matrix}$

Beweis

Siehe Aufgabe 16.17.

◻

Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und sei $n \in ℕ$ . Eine multilineare Abbildung

Φ : V^{n} = \underset{n -mal}{\underset{⏟}{V \times \dots \times V}} ⟶ W

heißt alternierend, wenn Folgendes gilt: Falls in $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i} = v_{j}$ für ein Paar $i \neq j$ , so ist

Φ (v) = 0 .

Bei einer alternierenden Abbildung muss an jeder Stelle der gleiche Vektorraum stehen.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und sei $n \in ℕ$ . Es sei

Φ : V^{n} = \underset{n -mal}{\underset{⏟}{V \times \dots \times V}} ⟶ W

eine alternierende Abbildung.

Dann gilt

$\begin{matrix} Φ (v_{1}, \dots, v_{r - 1}, v_{r}, v_{r + 1}, \dots, v_{s - 1}, v_{s}, v_{s + 1}, \dots, v_{n}) & = - Φ (v_{1}, \dots, v_{r - 1}, v_{s}, v_{r + 1}, \dots, v_{s - 1}, v_{r}, v_{s + 1}, \dots, v_{n}) . \end{matrix}$

D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

Beweis

Aufgrund der Definition von alternierend und Lemma 16.6 gilt

\begin{matrix} 0 & = Φ (v_{1}, \dots, v_{r - 1}, v_{r} + v_{s}, v_{r + 1}, \dots, v_{s - 1}, v_{r} + v_{s}, v_{s + 1}, \dots, v_{n}) \\ = Φ (v_{1}, \dots, v_{r - 1}, v_{r}, v_{r + 1}, \dots, v_{s - 1}, v_{s}, v_{s + 1}, \dots, v_{n}) + Φ (v_{1}, \dots, v_{r - 1}, v_{s}, v_{r + 1}, \dots, v_{s - 1}, v_{r}, v_{s + 1}, \dots, v_{n}) . \end{matrix}

◻

Die Determinante ist eine alternierende Abbildung

Wir wollen zeigen, dass die rekursiv definierte Determinante eine multilineare und alternierende Abbildung ist, wenn man die Identifizierung

{Mat}_{n} (K) ≅ (K^{n})^{n}

vornimmt, bei der einer Matrix das $n$ -Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel

(\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

auf, wobei die einzelnen Einträge $v_{i}$ Zeilenvektoren der Länge $n$ sind.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $n \in ℕ_{+}$ .

Dann ist die Determinante

${Mat}_{n} (K) = (K^{n})^{n} ⟶ K, M ⟼ det M,$

multilinear.

D.h., dass für jedes $k \in {1, \dots, n}$ , für je $n - 1$ Vektoren $v_{1}, \dots, v_{k - 1}, v_{k + 1}, \dots, v_{n} \in K^{n}$ und für $u, w \in K^{n}$ die Gleichheit

det (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ u + w \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = det (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ u \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) + det (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ w \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

und für $s \in K$ die Gleichheit

det (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ s u \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = s det (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ u \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

gilt.

Beweis

Es seien

M := (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ u \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}), M^{'} := (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ w \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) und \tilde{M} := (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ u + w \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}),

wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also $u = (a_{k 1}, \dots, a_{k n})$ und $w = (a_{k^{'} 1}, \dots, a_{k^{'} n})$ . Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach $n$ , wobei der Fall $n = 1$ klar ist. Für $i \neq k$ ist ${\tilde{a}}_{i 1} = a_{i 1} = a'_{i 1}$ und

det {\tilde{M}}_{i} = det M_{i} + det M'_{i}

nach Induktionsvoraussetzung. Für $i = k$ ist $M_{k} = {M_{k}}^{'} = {\tilde{M}}_{k}$ und es ist ${\tilde{a}}_{k 1} = a_{k 1} + a'_{k 1}$ . Insgesamt ergibt sich

\begin{matrix} det \tilde{M} & = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} {\tilde{a}}_{i 1} det {\tilde{M}}_{i} \\ = \sum_{i = 1, i \neq k}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i 1} (det M_{i} + det M'_{i}) + (- 1)^{k + 1} (a_{k 1} + a'_{k 1}) (det {\tilde{M}}_{k}) \\ = \sum_{i = 1, i \neq k}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i 1} det M_{i} + \sum_{i = 1, i \neq k}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i 1} det M'_{i} + (- 1)^{k + 1} a_{k 1} det M_{k} + (- 1)^{k + 1} a'_{k 1} det M_{k} \\ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i 1} det M_{i} + \sum_{i = 1, i \neq k,}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i 1} det M'_{i} + (- 1)^{k + 1} a'_{k 1} det M_{k} \\ = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i 1} det M_{i} + \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} a'_{i 1} det M'_{i} \\ = det M + det M^{'} . \end{matrix}

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe 16.22.

◻

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $n \in ℕ_{+}$ .

Dann ist die Determinante

${Mat}_{n} (K) = (K^{n})^{n} ⟶ K, M ⟼ det M,$

alternierend.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $n$ , wobei es für $n = 1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also $n \geq 2$ und $M = (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = {(a_{i j})}_{i j}$ . Die relevanten Zeilen seien $v_{r}$ und $v_{s}$ mit $r < s$ . Nach Definition ist $det M = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} a_{i 1} det M_{i}$ . Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei $det M_{i} = 0$ für $i \neq r, s$ , da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

det M = (- 1)^{r + 1} a_{r 1} det M_{r} + (- 1)^{s + 1} a_{s 1} det M_{s},

wobei $a_{r 1} = a_{s 1}$ ist. Die beiden Matrizen $M_{r}$ und $M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile $z = v_{r} = v_{s}$ in $M_{r}$ als die $(s - 1)$ -te Zeile und in $M_{s}$ als die $r$ -te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt $s - r - 1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man $M_{r}$ in $M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und Lemma 16.8 unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor $(- 1)^{s - r - 1}$ , also ist $det M_{s} = (- 1)^{s - r - 1} det M_{r}$ . Setzt man dies oben ein, so erhält man

\begin{matrix} det M & = (- 1)^{r + 1} a_{r 1} det M_{r} + (- 1)^{s + 1} a_{s 1} det M_{s} \\ = a_{r 1} ((- 1)^{r + 1} det M_{r} + (- 1)^{s + 1} (- 1)^{s - r - 1} det M_{r}) \\ = a_{r 1} ((- 1)^{r + 1} + (- 1)^{2 s - r}) det M_{r} \\ = a_{r 1} ((- 1)^{r + 1} + (- 1)^{r}) det M_{r} \\ = 0. \end{matrix}

◻

Durch die Eigenschaft, alternierend zu sein, vereinfacht sich das Berechnen der Determinante. Insbesondere kann man gut überblicken, wie sich die Determinante bei elementaren Zeilenumformungen verhält. Wenn man eine Zeile mit einer Zahl $s$ multipliziert, so muss man die Determinante auch mit $s$ multiplizieren. Wenn man Zeilen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wenn man eine Zeile (oder ein Vielfaches davon) zu einer anderen Zeile hinzuaddiert, so ändert sich die Determinante nicht.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n \times n$ -Matrix über $K$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

Es ist $det M \neq 0$ .

Die Zeilen von $M$ sind linear unabhängig.

$M$ ist invertierbar.

Es ist $rang M = n$ .

Beweis

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Korollar 12.16 gezeigt. Es seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass $v_{n} = \sum_{i = 1}^{n - 1} s_{i} v_{i}$ ist. Dann ist nach Satz 16.9 und Satz 16.10

det M = det (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n - 1} \\ \sum_{i = 1}^{n - 1} s_{i} v_{i} \end{matrix}) = \sum_{i = 1}^{n - 1} s_{i} det (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n - 1} \\ v_{i} \end{matrix}) = 0 .

Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von $0$ verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix nach Lemma 16.4 gleich $1$ ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix $\neq 0$ sein.

◻

Bemerkung

Bei $K = ℝ$ steht die Determinante in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im $ℝ^{n}$ Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf. Dieses ist definiert als

P := {s_{1} v_{1} + \dots + s_{n} v_{n} ∣ s_{i} \in [0, 1]} .

Es besteht also aus allen Linearkombinationen der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen „voluminösen“ Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung

vol P = | det (v_{1}, \dots, v_{n}) |,

d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.

Für einen Beweis der eben genannten Beziehung zwischen Determinante und Volumen siehe Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)).

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