Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass ein äußeres Maß die Subadditivitätseigenschaft für beliebige abzählbare Vereinigungen besitzt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, $𝒫$ ein Präring auf $M$,

$\mu :𝒫⟶{\overline{ℝ}}_{\ge 0}$

ein äußeres Maß auf $M$ und $\tilde{\mu }$ die Fortsetzung von $\mu$ auf die Potenzmenge $𝔓(M)$. Zeige, dass für jede Teilmenge  $S\subseteq M$  die Beziehung

$\tilde{\mu }(S)\le \tilde{\mu }(S\cap Z)+\tilde{\mu }(S\cap (M\setminus Z))$

gilt.

Aufgabe

Bestimme das Infimum über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die $\mathbb{Z}$ überdecken.

Aufgabe *

Zu jeder rationalen Zahl  $q\in \mathbb{Q}$  sei ein Intervall $[a_q,b_q]$ derart gegeben, dass $q$ in dessen Innern liegt, also  $q\in ]a_q,b_q[$.  Ist

$\bigcup _{q\in \mathbb{Q}}[a_q,b_q]=ℝ?$

Aufgabe

Bestimme das Infimum über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die $\mathbb{Q}$ überdecken.

Aufgabe

Es sei $T\subseteq {ℝ}^k$ eine abzählbare Menge. Zeige, dass das Infimum über die Summe der Volumina der beteiligten offenen Intervall-Quader zu Überpflasterungen von $T$ aus solchen Quadern gleich $0$ ist.

Aufgabe

Es sei  $T=\mathbb{Z}\times ℝ$.  Zeige, dass das Infimum über die Summe der Flächen zu Überpflasterungen von $T$ mit offenen Rechtecken gleich $0$ ist.

Aufgabe

Es sei  $T=\mathbb{Q}\times ℝ$.  Zeige, dass das Infimum über die Summe der Flächen zu Überpflasterungen von $T$ mit offenen Rechtecken gleich $0$ ist.

Aufgabe

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion und sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℝ\times ℝ$  ihr Graph. Zeige, dass das Infimum der Summen der Rechtecksinhalte über alle Überpflasterungen von $\mathrm{\Gamma }$ mit achsenparallelen Rechtecken gleich $0$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f:[a,b]⟶{ℝ}_{\ge 0}$

eine Riemann-integrierbare Funktion und $T$ der (abgeschlossene) Subgraph von $f$. Zeige, dass das äußere Maß von $T$ (zum Rechtecksprämaß) gleich dem bestimmten Integral ${\int }_a^{b}f(t)dt$ ist.

Aufgabe

Welche „vertrauten geometrischen Figuren“ kann man als (verallgemeinerte) Quader in $ℝ\times ℝ$ oder in $ℝ\times {ℝ}^2$ auffassen?

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und sei  $T\subseteq M\times N$  eine Teilmenge. Zu  $x\in M$  sei  $T(x)=\{y\in N\mid (x,y)\in T\}$.  Zeige, dass $\{x\}\times T(x)$ die Faser der Hintereinanderschaltung

$T\hookrightarrow M\times N\stackrel{p_1}{⟶}M$

über $x$ ist.

Aufgabe

Es seien $(M,𝒜)$ und $(N,ℬ)$ zwei Messräume, die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von $M\times N$ seien mit der durch $𝒜\otimes ℬ$ induzierten $\sigma$-Algebra versehen. Es sei  $S\subseteq M$.  Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. $S$ ist eine messbare Teilmenge von $M$.
2. Es gibt ein  $y\in N$  derart, dass  $S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$  messbar ist.
3. Für alle  $y\in N$  ist  $S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$  messbar.
4. Es gibt ein $y\in N$ derart, dass $S\times \{y\}$ messbar in $M\times N$ ist.
5. Für alle  $y\in N$  ist $S\times \{y\}$ messbar in $M\times N$.

Aufgabe

Es sei $X$ ein Hausdorffraum. Zeige, dass die Diagonale

$\mathrm{△}=\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\}$

eine messbare Teilmenge im Produktraum $X\times X$ ist.

Aufgabe

Es seien $M,N_1,N_2$ Messräume und es seien $f_1:M\to N_1$ und $f_2:M\to N_2$ messbare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

$(f_1,f_2):M⟶N_1\times N_2,x⟼(f_1(x),f_2(x)),$

messbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $𝒫$ ein Präring auf $ℝ$, der die Intervalle $[a,b]$, $a<b$, enthalte, und es sei $\mu$ ein äußeres Maß darauf, das auf diesen Intervallen den Wert $b-a$ besitze. Zeige, dass die Fortsetzung dieses äußeren Maßes auf allen abzählbaren Teilmengen von $ℝ$ den Wert $0$ besitzt.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei $f:{ℝ}_{\ge 0}\to {ℝ}_{\ge 0}$ eine stetige Funktion derart, dass das uneigentliche Integral ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)dt$ existiert.

1. Zeige, dass es zu jedem  $ϵ>0$  obere Treppenfunktionen $T_n$ zu $f$ auf $[n-1,n]$ derart gibt, dass die Gesamtdifferenz

   $\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{\int }_{n-1}^n{T}_n(t)dt-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)dt\le ϵ$

   erfüllt.

2. Man gebe ein Beispiel einer solchen Funktion $f$ derart, dass es keine solche Approximation mit oberen Treppenfunktionen gibt, wenn man zusätzlich fordert, dass sie zu der äquidistanten Unterteilung der Intervalle $[n-1,n]$ zu einem festen Stammbruch $\frac{1}{k}$ (unabhängig von $n$) gehören.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Urbild der Einheitskreisscheibe  $E\subseteq {ℝ}^2$  unter den Inklusionsabbildungen

${\iota }_y:ℝ⟶{ℝ}^2,x⟼(x,y).$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $(M_1,{𝒜}_1),\dots ,(M_n,{𝒜}_n)$ Mengen mit darauf erklärten $\sigma$-Algebren. Zeige, dass die Produkt-$\sigma$-Algebra ${𝒜}_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{𝒜}_n$ die kleinste $\sigma$-Algebra auf $M_1\times \cdots \times M_n$ ist, für die alle Projektionen messbar sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $X$ und $Y$ zwei topologische Räume mit abzählbarer Basis der Topologie und mit den zugehörigen $\sigma$-Algebren der Borel-Mengen $ℬ(X)$ und $ℬ(Y)$. Zeige, dass das Mengensystem der Borel-Mengen auf dem Produktraum $X\times Y$ mit dem Produkt von $ℬ(X)$ und $ℬ(Y)$ übereinstimmt.