Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 14

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.


Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.


Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von -Matrizen.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Multiplikation

multilinear ist. Ist sie alternierend?


Aufgabe *

Linalg parallelogram area.png

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.





Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung und es sei

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung

multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn alternierend ist, dass dann auch alternierend ist, und dass hiervon bei bijektiv auch die Umkehrung gilt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

für beliebiges und beliebige Vektoren , für und für die Gleichheit

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Zeige, dass für den Rang die Beziehungen

gelten. Zeige, dass links Gleichheit gilt, falls invertierbar ist, und rechts Gleichheit gilt, falls invertierbar ist. Man gebe ein Beispiel von nicht invertierbaren Matrizen und an derart, dass links und rechts Gleichheit gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Untersuche die Abbildung

auf Multilinearität.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

unter der Voraussetzung durch.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Determinanten der Elementarmatrizen.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Determinanten aller -Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal und zweimal steht.



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