Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 13

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

gemäß den beiden möglichen Klammerungen.


Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

für jedes zu sich selbst invers ist.


Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

wobei links der -te Standardvektor (der Länge ) als Zeilenvektor und rechts der -te Standardvektor (ebenfalls der Länge ) als Spaltenvektor aufgefasst wird.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt mit dem -ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die -te Spalte von ergibt. Was ist , wobei der -te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei nicht kommutativ ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().


Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?


Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.


Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

Es sei der durch die lineare Gleichung definierte Untervektorraum von , und sei die Einschränkung von auf . Zu gehören Vektoren der Form

Berechne und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

von sowie die beschreibenden Matrizen für bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ).


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix


Der Begriff „Isomorphismus“ kommt in unterschiedlichen Zusammenhängen vor. Für Körper lautet die Definition:

Es seien und zwei Körper. Eine Abbildung

heißt Körper-Isomorphismus, wenn

bijektiv ist und wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Zeige, dass der einzige Körper-Isomorphismus

die

Identität ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine komplexe Zahl und es sei

die dadurch definierte Multiplikation, die eine -lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis und aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen und mit den beiden reellen Matrizen und die Produktmatrix die beschreibende Matrix zu ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum und . Betrachte auf der Produktmenge die folgende Relation.

Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man gebe eine Bijektion zwischen der zugehörigen Quotientenmenge und der Menge der Unterräume von der Dimension an. Zeige ferner, dass zwei Tupel und genau dann in dieser Relation zueinander stehen, wenn es eine invertierbare -Matrix

gibt mit
für alle .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der einzige Körperisomorphismus

die Identität ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die komplexen Zahlen . Es sei

ein Körperisomorphismus mit . Zeige, dass entweder die Identität oder die komplexe Konjugation ist.



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