Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 15

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und

$\phi :V⟶W$

sei eine $K$-lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ multilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei

$\mathrm{△}:V\times V⟶K$

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien  $u,v,w\in V$.  Ziehe in

$\mathrm{△}\left(\begin{array}{c}u+2v\\ v+3w\end{array}\right)$

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Abbildung

$K^n\times K^n⟶K,(\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right))⟼(u_1,\dots ,u_n)\circ \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right),$

multilinear ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Abbildung

${\mathrm{Mat}}_2(K)⟶K,\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)⟼ad+cb,$

multilinear ist, aber nicht alternierend.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Ist die Abbildung

${\mathrm{Mat}}_2(K)⟶K,\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)⟼ac-bd,$

multilinear in den Zeilen? In den Spalten?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $m,n,p\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien $A,B\in {\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$, $C\in {\mathrm{Mat}}_{n\times p}(K)$ und $s\in K$).

1.  $(A^{\text{tr}}{)}^{\text{tr}}=A$. 
2.  $(A+B{)}^{\text{tr}}=A^{\text{tr}}+B^{\text{tr}}$. 
3.  $(sA{)}^{\text{tr}}=s\cdot A^{\text{tr}}$. 
4.  $(A\circ C{)}^{\text{tr}}=C^{\text{tr}}\circ A^{\text{tr}}$. 

Aufgabe

Zeige, dass für jede Elementarmatrix $E$ die Beziehung

$detE=det{E}^{\text{tr}}$

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit Basis $𝔳=v_1,\dots ,v_n$. Es sei

$V^{\ast }:={\mathrm{Hom}}_K(V,K)$

der Dualraum zu $V$. Zeige, dass auf $V^{\ast }$ die Koordinatenfunktionen $v_1^{\ast },\dots ,v_n^{\ast }$, die durch

$v_j^{\ast }(v_k)=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }j=k,\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

definiert sind, eine Basis von $V^{\ast }$ bilden.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume mit Basen

$𝔳=v_1,\dots ,v_n\text{ und }𝔴=w_1,\dots ,w_m.$

Es sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich dieser Basen durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Zeige, dass die duale Abbildung

$W^{\ast }⟶V^{\ast },f⟼f\circ \phi ,$

bezüglich der Dualbasen

$v_1^{\ast },\dots ,v_n^{\ast }\text{ und }{w}_1^{\ast },\dots ,w_m^{\ast }$

durch die transponierte Matrix $M^{\text{tr}}$ beschrieben wird.

Aufgabe

Zeige, dass man die Determinante nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.

Aufgabe

Man berechne die Determinante der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 7\\ 1& 4& 5\\ 6& 0& 3\end{array}\right),$

indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie

$v_1,\dots ,v_n\text{ und }\mathrm{i}{v}_1,\dots ,\mathrm{i}{v}_n$

eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Aufgabe *

Es sei  $z\in ℂ$  und

$ℂ⟶ℂ,w⟼zw,$

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung ${ℝ}^2\to {ℝ}^2$ auffasst.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $n,m\in {\mathbb{N}}_{+}$  mit  $n\le m$.  Definiere injektive Gruppenhomomorphismen

${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)⟶{\mathrm{GL}}_m\left(K\right).$

Aufgabe

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 9& 8& 7\\ 1& 2& 3\end{array}\right).$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei  $M\in {\mathrm{Mat}}_n(\mathbb{Q})$.  Zeige, dass es egal ist, ob man die Determinante in $\mathbb{Q}$, in $ℝ$ oder in $ℂ$ ausrechnet.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei

$\mathrm{△}:V\times V\times V⟶K$

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien  $u,v,w,z\in V$.  Ziehe in

$\mathrm{△}\left(\begin{array}{c}u+v+w\\ 2u+3z\\ 4w-5z\end{array}\right)$

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_1,\dots ,V_n$ Vektorräume über $K$. Es seien

${\phi }_i:V_i⟶K$

($i=1,\dots ,n$), lineare Abbildungen. Zeige, dass dann die Abbildung

$\phi :V_1\times \cdots \times V_n⟶K,(v_1,\dots ,v_n)⟼{\phi }_1(v_1)\cdots {\phi }_n(v_n),$

multilinear ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Löse mit der Cramerschen Regel das inhomogene lineare Gleichungssystem (über $\mathbb{Q}$)

$\begin{array}{ccc}2x+4y+3z& =& 3\\ x+5y+7z& =& 3\\ 3x+5y+2z& =& 4.\end{array}$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und

$\phi :V⟶W$

sei eine $K$-lineare Abbildung. Es sei $T$ ein weiterer $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung

${\mathrm{Hom}}_K(W,T)⟶{\mathrm{Hom}}_K(V,T),f⟼f\circ \phi ,$

$K$-linear ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die Determinante

${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)⟶(K\setminus \{0\},\cdot ,1),M⟼detM,$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen $ℂ$ und sei

$\phi :V⟶V$

eine $ℂ$-lineare Abbildung. Wir betrachten $V$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf $\phi$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit $\psi$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung

$|det\phi {|}^2=det\psi$

besteht.