Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 15

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass multilinear und alternierend ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien . Ziehe in

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Abbildung

multilinear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Abbildung

multilinear ist, aber nicht alternierend.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Ist die Abbildung

multilinear in den Zeilen? In den Spalten?


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien , und ).

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .


Aufgabe

Zeige, dass für jede Elementarmatrix die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Basis . Es sei

der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch

definiert sind, eine Basis von bilden.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume mit Basen

Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich dieser Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass die duale Abbildung

bezüglich der Dualbasen

durch die transponierte Matrix beschrieben wird.


Aufgabe

Zeige, dass man die Determinante nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.


Aufgabe

Man berechne die Determinante der Matrix

indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei eine Basis von . Zeige, dass die Vektorenfamilie

eine Basis von , aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.


Aufgabe

Sei und

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung auffasst.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Definiere injektive Gruppenhomomorphismen


Aufgabe

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei . Zeige, dass es egal ist, ob man die Determinante in , in oder in ausrechnet.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien . Ziehe in

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

(), lineare Abbildungen. Zeige, dass dann die Abbildung

multilinear ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Löse mit der Cramerschen Regel das inhomogene lineare Gleichungssystem (über )


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Es sei ein weiterer -Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung

-linear ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen und sei

eine lineare Abbildung. Wir betrachten auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung

besteht.



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