Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 14

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Rang von Matrizen

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Unterraums von den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben



Korollar

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde.

Dann gilt

Beweis

Siehe Aufgabe 14.2.


Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den Zeilenrang einer Matrix ein, das ist die Dimension des von den Zeilen erzeugten Unterraumes.



Lemma  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Der Rang ist gleich der in Satz 13.13 verwendeten Zahl .

Beweis  

Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Raum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang stimmt also mit dem Zeilenrang der in Satz 13.13 angegebenen Matrix in Stufenform überein. Diese hat den Zeilenrang , da die ersten Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang , da wiederum die ersten Spalten (wenn man auch noch die Spalten vertauscht hat) linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser Spalten sind. Die Aufgabe 14.1 zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.


Beide Ränge stimmen also überein, so dass wir im Folgenden nur noch vom Rang einer Matrix sprechen werden.



Korollar

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist invertierbar.
  2. Der Rang von ist .
  3. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
  4. Die Spalten von sind linear unabhängig.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 13.8 und aus Lemma 14.3.




Determinanten

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Für kleine kann man die Determinante einfach ausrechnen.


Beispiel  

Für eine -Matrix

ist


Als Merkregel für eine -Matrix verwendet man die Regel von Sarrus. Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.

Beispiel  

Für eine -Matrix ist

Dies nennt man die Regel von Sarrus.




Lemma  

Für eine obere Dreiecksmatrix

ist

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix .

Beweis  

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.




Determinantenfunktionen

Zur systematischen Behandlung von Determinanten braucht man einige neue Begriffe.


Definition (Multilineare Abbildung)  

Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Eine Abbildung

heißt multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel mit die induzierte Abbildung

-linear ist.


Definition (Alternierende Abbildung)  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und sei . Eine multilineare Abbildung

heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in zwei Einträge übereinstimmen, also für ein Paar , so ist

Wir wollen zeigen, dass die oben rekursiv definierte Determinante eine multilineare alternierende Abbildung ist, wenn man die Identifizierung

vornimmt, bei der einer Matrix das -Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix auf als einen Spaltenvektor

wobei die einzelnen Einträge Zeilenvektoren der Länge sind.[1]



Satz  

Es sei ein Körper und .

Dann ist die Determinante

multilinear.

D.h., dass für jedes , für je Vektoren und für die Gleichheit

und für die Gleichheit

gilt.

Beweis  

Seien

wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also und . Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach , wobei der Fall klar ist. Für ist und

nach Induktionsvoraussetzung. Für ist und es ist . Insgesamt ergibt sich

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe 14.11.




Satz  

Es sei ein Körper und .

Dann besitzt die Determinante

folgende Eigenschaften.
  1. Wenn in zwei Zeilen übereinstimmen, so ist . D.h., dass die Determinante alternierend ist.
  2. Wenn man in zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor .

Beweis  

(1) und (2) werden parallel durch Induktion über bewiesen, wobei es für nichts zu zeigen gibt. Sei also und . Die relevanten Zeilen seien und mit . Nach Definition ist . Nach Induktionsvoraussetzung für (1) sind dabei für , da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

wobei ist. Die beiden Matrizen und haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile in als die -te Zeile und in als die -te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man in überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (2) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor , also ist . Setzt man dies oben ein, so erhält man


Jetzt beweisen wir (2). Nach Teil (1) (für ) und aufgrund der Multilinearität ist





Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. .
  2. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
  3. ist invertierbar.
  4. .

Beweis  

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Korollar 14.4 gezeigt. Seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschen annehmen, dass ist. Dann ist nach Satz 14.12


Seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix sein.


Determinant parallelepiped.svg


Bemerkung  

Bei steht die Determinante in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im Vektoren betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf. Dieses ist definiert als

Es besteht also aus allen Linearkombinationen der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen „voluminösen“ Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung

d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.




Fußnoten
  1. Die alterniernende Multilinearität gilt auch, wenn man eine Matrix als ein -Tupel aus Spalten auffasst, was wir später zeigen werden. Aufgrund der rekursiven Definition mit Hilfe der ersten Spalte sind diese Eigenschaften einfacher für die Zeilen zu zeigen.



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