Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 51/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es seien und Mengen und ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion
Betrachte die Abbildung
Für welche Punkte ist regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über .
Seien und Mengen und seien
Abbildungen. Zu einem Punkt sei die Faser von über . Zeige, dass die Faser der Produktabbildung über gleich ist.
Es seien
zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen und stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion
stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von als Graph an.
Beschreibe die Fasern der Abbildung
Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen und den Fasern von an.
Beschreibe die Fasern der Abbildung
Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen offenen Intervallen und (möglichst großen) offenen Teilmengen der Fasern von an.
Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt
gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
derart gibt, dass
gilt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Fasern der Abbildung
in jedem Punkt lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , ein offenes Intervall und eine stetige Bijektion
gibt (wobei die Faser von durch bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetige Funktion und es sei ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung derart, dass ist für alle , . Zeige, dass dann in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Abbildung
im Punkt . Man gebe eine differenzierbare Abbildung
an, wobei eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes an die Faser von durch ist, die eine Bijektion zwischen und stiftet ( offen).
- Aufgaben zum Hochladen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.
Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Man fertige eine Animation an, die den Banachschen Fixpunktsatz anhand eines „Karte in der Karte“-Modells illustriert.
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