Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 54

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es seien und metrische Räume und es seien

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

abgeschlossen in ist.


Aufgabe

Seien Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für Vektorfelder?

Aufgabe

Sei

ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung

genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ist, wenn ist für alle .


Aufgabe

Es sei

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.


BodyMassIndex.png

Aufgabe

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

berechnet, wobei für die Masse und für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

  1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
  2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
  3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
  4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
  5. Berechne die Hesse-Matrix von und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
  6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
  7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.


Aufgabe

Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum . Es sei

ein Zentralfeld, d.h. ein Vektorfeld vom Typ

mit einer stetigen Funktion

Zeige, dass zu einem fixierten die Lösungen

der eindimensionalen Differentialgleichung

zu Lösungen der Differentialgleichung

führen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen und

ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei

eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gebe zwei Zeitpunkte in mit . Zeige, dass es dann eine auf ganz definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

gehört.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung



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