Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 54
- Aufwärmaufgaben
Es seien und metrische Räume und es seien
zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge
abgeschlossen in ist.
Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für Vektorfelder?
Es sei
ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung
genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ist, wenn für alle ist.
Es sei
eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.
Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung
berechnet, wobei für die Masse und für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).
- Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
- Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
- Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
- Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
- Berechne die Hesse-Matrix von und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
- Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
- Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.
Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum . Es sei
ein Zentralfeld, d.h. ein Vektorfeld vom Typ
mit einer stetigen Funktion
Zeige, dass zu einem fixierten die Lösungen
der eindimensionalen Differentialgleichung
zu Lösungen der Differentialgleichung
führen.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld
Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen und
ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei
eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gebe zwei Zeitpunkte in mit . Zeige, dass es dann eine auf ganz definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung
<< | Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II | >> |
---|