Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 77/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Aufgabe 77.1 ändern
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
- Die Abbildung
- ist differenzierbar.
- ist differenzierbar.
- Wenn keine Nullstelle besitzt, so ist auch differenzierbar.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus
induziert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein halboffenes Intervall keine topologische Mannigfaltigkeit ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei das (nach oben) halboffene Einheitsintervall und der Einheitskreis. Zeige, dass es eine bijektive stetige Abbildung
gibt, dass aber und nicht homöomorph sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre - diffeomorph sind.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 77.6 ändern
Es seien und offene Teilmengen mit und es sei
ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen und induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von auf nach ein Diffeomorphismus ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es differenzierbare Funktionen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe eine injektive stetige Abbildung
die (als Abbildung nach ) rektifizierbar ist und unendliche Länge besitzt, und für die und gilt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Achsenkreuz keine topologische Mannigfaltigkeit ist.
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