Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 90/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere die Newton-Leibniz-Formel als einen Spezialfall des Satzes von Stokes.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine kompakte ${}n$- dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$- Differentialform auf ${}M$. Zeige

${}\int _{M}d\omega =0\,.$

Was bedeutet diese Aussage für ${}S^{1}$? Wie kann man diese Aussage in diesem Fall über ein Wegintegral beweisen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\tau$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Zeige, dass ${}\tau$ nicht exakt ist.

Wie sieht dies ohne die Kompaktheitsvoraussetzung aus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ das durch ${}(0,2),\,(1,-1)$ und ${}(-2,-1)$ gegebene Dreieck und ${}\tau =x^{2}ydx\wedge dy$ eine ${}2$- Differentialform auf ${}D$. Finde eine Stammform für ${}\tau$ und berechne damit ${}\int _{D}\tau$ durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im ${}\mathbb {R} ^{2}$ nur von der Länge des Randes abhängt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem nichtleeren Rand. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung ${}M\rightarrow \partial M$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ (${}n\geq 1$) ein Halbraum. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow \partial H$

gibt, deren Einschränkung auf ${}\partial H$ die Identität ist.

Wie sieht das bei ${}n=0$ aus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es auf einem Annulus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ das durch ${}(0,2),\,(1,-1)$ und ${}(-2,-1)$ gegebene Dreieck und ${}\tau =(3x^{2}y^{5}-x\sin y)dx\wedge dy$ eine ${}2$- Differentialform auf ${}D$. Finde eine Stammform für ${}\tau$ und berechne damit ${}\int _{D}\tau$ durch ein Integral über dem Dreiecksrand.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Würfel

${}Q=[-1,1]^{3}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

und die ${}2$- Differentialform

${}\omega =dx\wedge dy+ydx\wedge dz+x^{2}y^{2}z^{2}dy\wedge dz\,.$

Berechne ${}d\omega$ und die beiden Integrale ${}\int _{\partial Q}\omega$ und ${}\int _{Q}d\omega$ (unabhängig voneinander).

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe über ein geeignetes Wegintegral.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es auf einem Torus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}B$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und ${}K$ der obere Halbkreisbogen. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon B\longrightarrow K$

gibt, deren Einschränkung auf ${}K$ die Identität ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}v,w\in \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}\Vert {v}\Vert \leq 1$ und ${}\Vert {w}\Vert =1$. Zeige, dass es ein ${}a\in \mathbb {R}$ mit ${}\Vert {v+aw}\Vert =1$ gibt.