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Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 2 4 4 1 1 7 6 4 4 4 5 7 4 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Lösung eines Anfangswertproblems

    zu einer Funktion

  2. Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
  4. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  5. Die Laplace-Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion
  6. Das Mehrfachintegral zu einer stetigen Funktion

    auf einer kompakten Teilmenge .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Fundamentalsystem für eine lineare Differentialgleichung

    mit Koeffizienten

    .
  2. Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen

    und

    in einem Punkt .
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion
    in einem Punkt .



Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung

gilt.



Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

auf zum Weg



Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.



Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im auf einen -dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?



Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Addition



Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass das totale Differential zu einer total differenzierbaren Abbildungen

in einem Punkt eindeutig bestimmt ist.



Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vierter Ordnung der Funktion

im Nullpunkt.



Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.



Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei eine Stammfunktion zu . Es sei

mit

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu .

b) Zeige, dass man auf in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass injektiv ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

Wie betrachten die Abbildung

Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung die Bedingung

erfüllen.



Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .



Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge (das Einheitsquadrat) wird als festgelegt.

  1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
  2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei die obere Einheitskreishälfte und sei

Berechne .