Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/2/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 5 | 2 | 4 | 4 | 1 | 1 | 7 | 6 | 4 | 4 | 4 | 5 | 7 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Lösung eines Anfangswertproblems
zu einer Funktion
- Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum .
- Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
- Die
totale Differenzierbarkeit
einer Abbildung
in einem Punkt .
- Die Laplace-Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion
- Das
Mehrfachintegral
zu einer stetigen Funktion
auf einer kompakten Teilmenge .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über das Fundamentalsystem für eine lineare Differentialgleichung
mit Koeffizienten
. - Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen
und
- Der
Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema
einer Funktion
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)
a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung
gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix
gegebenen symmetrischen Bilinearform.
Aufgabe * (1 Punkt)
Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im auf einen -dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?
Aufgabe * (7 Punkte)
Zeige, dass das totale Differential zu einer total differenzierbaren Abbildungen
in einem Punkt eindeutig bestimmt ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)
Es sei
eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei eine Stammfunktion zu . Es sei
mit
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu .
b) Zeige, dass man auf in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.
c) Zeige, dass injektiv ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei
Wie betrachten die Abbildung
Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung die Bedingung
erfüllen.
Aufgabe * (5 Punkte)
Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung .
Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)
Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge (das Einheitsquadrat) wird als festgelegt.
- Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
- Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei die obere Einheitskreishälfte und sei
Berechne .