Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 17

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der rationalen Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Nullpunkt.


Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme das Polynom

in der neuen Variablen (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt .


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von .

b) Skizziere für zwischen und .

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von .

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung von im Punkt .


Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe *

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe

Es sei eine Funktion. Vergleiche die polynomiale Interpolation zu gegebenen Punkten und die Taylor-Polynome vom Grad zu einem Punkt.


Aufgabe

Es sei eine im Punkt -fach differenzierbare Funktion. Zeige, dass das -te Taylor-Polynom zu im Punkt , geschrieben in der verschobenen Variablen , gleich dem -ten Taylor-Polynom der Funktion im Nullpunkt (geschrieben in der Variablen ) ist.


Aufgabe

Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion das -te Taylor-Polynom von im Entwicklungspunkt nicht aus dem -ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt bestimmen kann.


Aufgabe

Es seien Polynome -ten Grades und es seien Punkte und natürliche Zahlen mit

Die Ableitungen von und in den Punkten sollen bis einschließlich zur -ten Ableitung übereinstimmen. Zeige .

Man mache sich zuerst die Aussage bei und und bei und für alle klar.

Aufgabe

Es sei . Bestimme ein Polynom vom Grad , das in den beiden Punkten und die gleichen linearen Approximationen wie besitzt.


Aufgabe *

Es sei . Bestimme Polynome vom Grad , die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) stimmt mit an den Stellen überein.

(b) stimmt mit in und in bis zur ersten Ableitung überein.

(c) stimmt mit in bis zur dritten Ableitung überein.


Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion


Aufgabe

Es sei ein Polynom und

Zeige, dass die Ableitung ebenfalls von der Form

mit einem weiteren Polynom ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Zeige, dass für jedes die -te Ableitung die Eigenschaft

besitzt.


Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der dritten Ordnung zur Funktion im Nullpunkt mit dem in Bemerkung 17.9 beschriebenen Potenzreihenansatz.


Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Sinus im Punkt mit dem in Bemerkung 17.11 beschriebenen Potenzreihenansatz.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt bis zum Grad der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Bestimme ein Polynom vom Grad , das in den beiden Punkten und die gleichen linearen Approximationen wie besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung des natürlichen Logarithmus im Punkt mit dem in Bemerkung 17.11 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.


Aufgabe (6 Punkte)

Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige .


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