Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Telefonanbieter $A,B$ und $C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr $j$ durch das Kundentupel $K_j=(a_j,b_j,c_j)$ ausgedrückt wird (dabei steht $a_j$ für die Anzahl der Kunden von $A$ im Jahr $j$ usw.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

1. Die Kunden von $A$ bleiben zu $80\mathrm{\%}$ bei $A$ und wechseln zu je $10\mathrm{\%}$ zu $B$ bzw. zu $C$.
2. Die Kunden von $B$ bleiben zu $70\mathrm{\%}$ bei $B$ und wechseln zu $10\mathrm{\%}$ zu $A$ und zu $20\mathrm{\%}$ zu $C$.
3. Die Kunden von $C$ bleiben zu $50\mathrm{\%}$ bei $C$ und wechseln zu $20\mathrm{\%}$ zu $A$ und zu $30\mathrm{\%}$ zu $B$.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel $K_{j+1}$ aus $K_j$ berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel $(12000,10000,8000)$ innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel $(10000,0,0)$ in vier Jahren?

Aufgabe *

Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\mathrm{\%}$ bei $A$, $10\mathrm{\%}$ wechseln zu $B$, $5\mathrm{\%}$ wechseln zu $C$ und $5\mathrm{\%}$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\mathrm{\%}$ bei $B$, $10\mathrm{\%}$ wechseln zu $A$, $20\mathrm{\%}$ wechseln zu $C$ und $10\mathrm{\%}$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\mathrm{\%}$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10\mathrm{\%}$ wechseln zu $B$ und $20\mathrm{\%}$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\mathrm{\%}$ für ein Abonnement von $A,B$ oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix  $M\in {\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$  beschrieben werde. Zeige, dass $\phi$ genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von $K^m$ bilden.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix und $\phi :K^n\to K^m$ die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann surjektiv ist, wenn es eine $n\times m$-Matrix $A$ mit  $M\circ A=E_m$  gibt.

Aufgabe *

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}11& -20\\ 6& -11\end{array}\right).$

a) Zeige

$M^2=E_2.$

b) Bestimme die inverse Matrix zu $M$.

c) Löse die Gleichung

$M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -9\end{array}\right).$

Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix von

$\left(\begin{array}{ccccc}-\frac{9}{4}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& \frac{50}{3}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & -\frac{5}{3}& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 10^7& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& \frac{2}{11}\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ -4& 9\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 6& -1& -2\\ 0& 3& 7\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}2+3\mathrm{i}& 1-\mathrm{i}\\ 5-4\mathrm{i}& 6-2\mathrm{i}\end{array}\right).$

Aufgabe *

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}2+5\mathrm{i}& 1-2\mathrm{i}\\ 3-4\mathrm{i}& 6-2\mathrm{i}\end{array}\right)$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

$M\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54+72\mathrm{i}\\ 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix von

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\\ ⋮& ⋮& 1& ⋮& ⋮\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& k+2& k+1\\ 0& 0& k+1& k\\ -k& k+1& 0& 0\\ k+1& -(k+2)& 0& 0\end{array}\right)$

für jedes  $k\in K$  zu sich selbst invers ist.

Es sei $K$ ein Körper. Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

1. $V_{ij}:=E_n-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
2. $S_k(s):=E_n+(s-1)B_{kk}\text{ für }s\ne 0$.
3. $A_{ij}(a):=E_n+a{B}_{ij}\text{ für }i\ne j\text{ und }a\in K$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die Multiplikation mit $m\times m$-Elementarmatrizen von links mit $M$ folgende Wirkung haben.

1. $V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$.
2. $(S_k(s))\circ M=$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$.
3. $(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile ($i\ne j$).

Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Aufgabe

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

$A_{ij}(a)=E_n+a{B}_{ij}$

als Matrizenprodukt $M\circ N\circ L$ schreiben kann, wobei $M$ und $L$ Diagonalmatrizen sind und $N$ eine Scherungsmatrix der Form $A_{ij}(1)$ ist.

Aufgabe *

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 1\end{array}\right).$

Finde Elementarmatrizen $E_1,\dots ,E_k$ derart, dass $E_k\circ \cdots \circ E_1\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr $j$ wird daher durch ein $5$-Tupel

$B_j=(b_{1,j},b_{2,j},b_{3,j},b_{4,j},b_{5,j})$

angegeben.

Von den Traglingen erreichen $7/8$-tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen $9/10$-tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen $5/6$-tel das reife Alter und von den Reifen erreichen $2/3$-tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und $10$ Halbstarke zeugen $5$ Nachkommen und $10$ Reife zeugen $8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand $B_{j+1}$ aus dem Bestand $B_j$ berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand $(200,150,100,100,50)$ im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand $(0,0,100,0,0)$ in fünf Jahren?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $z\in ℂ$ eine komplexe Zahl und es sei

$ℂ⟶ℂ,w⟼zw,$

die dadurch definierte Multiplikation, die eine $ℂ$-lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis $1$ und $\mathrm{i}$ aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ mit den beiden reellen Matrizen $M_1$ und $M_2$ die Produktmatrix $M_2\circ M_1$ die beschreibende Matrix zu $z_1{z}_2$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 5& 0& 4\\ 1& -2& 3\end{array}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Verfahren 25.11 für die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

unter der Voraussetzung $ad-bc\ne 0$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& -3\end{array}\right).$

Finde Elementarmatrizen $E_1,\dots ,E_k$ derart, dass $E_k\circ \cdots \circ E_1\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

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