Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Vorlesung 25

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Die Dimensionsformel

Die folgende Aussage heißt Dimensionsformel.


Satz  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung und sei endlichdimensional.

Dann gilt

Beweis  



Definition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man

den Rang von .

Die Dimensionsformel kann man auch als

ausdrücken.


Beispiel  

Wir betrachten die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung

Zur Bestimmung des Kerns müssen wir das homogene lineare Gleichungssystem

lösen. Der Lösungsraum ist

und dies ist der Kern von . Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach der Dimensionsformel gleich .




Korollar  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann injektiv, wenn surjektiv ist.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 25.1 und Lemma 24.14.




Verknüpfung von linearen Abbildungen und Matrizen



Lemma  

Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.

Damit ist folgendes gemeint: es seien Vektorräume über einem Körper mit Basen

Es seien

lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung

Beweis  

Wir betrachten die Abbildungskette

Bezüglich der Basen werde durch die -Matrix und durch die -Matrix beschrieben. Die Hintereinanderschaltung wirkt auf einen Basisvektor folgendermaßen.

Dabei sind diese Koeffizienten gerade die Einträge in der Produktmatrix .

Daraus folgt beispielsweise, dass das Produkt von Matrizen assoziativ ist.



Invertierbare Matrizen

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit

gibt.


Definition  

Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit

die inverse Matrix von . Man schreibt dafür



Lineare Abbildungen und Basiswechsel



Lemma  

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde.

Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix

beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach beschreiben.

Beweis  




Korollar  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Es seien und Basen von .

Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich bzw. (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

Beweis  

Dies folgt direkt aus Lemma 25.8.



Definition  

Zwei quadratische Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.

Nach Korollar 25.9 sind zu einer linearen Abbildung die beschreibenden Matrizen bezüglich zweier Basen ähnlich zueinander.



Eigenschaften von linearen Abbildungen



Lemma  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
  2. ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.
  3. Bei ist genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn invertierbar ist.

Beweis  

Es seien und Basen von bzw. und es seien die Spaltenvektoren von . (1). Die Abbildung hat die Eigenschaft

wobei der -te Eintrag des -ten Spaltenvektors ist. Daher ist

Dies ist genau dann , wenn für alle ist, und dies ist äquivalent zu

Dafür gibt es ein nichttriviales (Lösungs-)Tupel genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn nicht injektiv ist.
(2). Siehe Aufgabe 25.3.
(3). Sei . Die erste Äquivalenz folgt aus (1) und (2). Wenn bijektiv ist, so gibt es die (lineare) Umkehrabbildung mit

Es sei die Matrix zu und die Matrix zu . Die Matrix zur Identität ist die Einheitsmatrix. Nach Lemma 25.5 ist daher

und somit ist invertierbar. Die Umkehrung wird ähnlich bewiesen.




Auffinden der inversen Matrix

Verfahren  

Es sei eine quadratische Matrix. Wie kann man entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist, und wie kann man die inverse Matrix finden?

Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem Invarianzprinzip. Jede elementare Zeilenumformung kann als eine Matrizenmultiplikation mit einer Elementarmatrix von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle

steht, so steht im nächsten Schritt

Wenn man das Inverse (das man noch nicht kennt, das es aber gibt unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist) der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich

D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich , daher muss zum Schluss für gelten


Beispiel  

Wir wollen zur Matrix gemäß dem in Verfahren 25.11 beschriebenen Verfahren die inverse Matrix bestimmen.



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