Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Überprüfe, ob der Vektor $(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})$ ein Eigenvektor zur Matrix

(\begin{matrix} - 2 & - 5 & 1 \\ 0 & - 2 & 2 \\ 4 & - 3 & 5 \end{matrix})

ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen Eigenwert.

Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2},

die durch eine Matrix der Form $(\begin{matrix} a & b \\ 0 & d \end{matrix})$ gegeben ist.

Aufgabe

Zeige, dass der erste Standardvektor ein Eigenvektor zu einer jeden oberen Dreiecksmatrix ist. Was ist der Eigenwert?

Aufgabe *

Es sei

M = (\begin{matrix} d_{1} & * & \dots & \dots & * \\ 0 & d_{2} & * & \dots & * \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & d_{n - 1} & * \\ 0 & \dots & \dots & 0 & d_{n} \end{matrix})

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass ein Eigenwert zu $M$ ein Diagonaleintrag von $M$ sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix $M \in {Mat}_{2} (ℂ)$ mindestens einen Eigenwert besitzt.

Aufgabe

Es seien

φ, ψ : V ⟶ V

Endomorphismen auf einem $K$ -Vektorraum $V$ und es sei $v \in V$ ein Eigenvektor von $φ$ und von $ψ$ . Zeige, dass $v$ auch ein Eigenvektor von $φ \circ ψ$ ist. Was ist der Eigenwert?

Es sei $φ : V \to V$ ein Isomorphismus auf einem $K$ -Vektorraum $V$ mit der Umkehrabbildung $φ^{- 1}$ . Zeige, dass $a \in K$ genau dann ein Eigenwert von $φ$ ist, wenn $a^{- 1}$ ein Eigenwert von $φ^{- 1}$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}

derart, dass $φ$ keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz $φ^{n}$ , $n \geq 2$ , Eigenwerte besitzt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung mit

φ^{n} = {Id}_{V}

für ein gewisses $n \in ℕ$ .^[1] Zeige, dass jeder Eigenwert $λ$ von $φ$ die Eigenschaft $λ^{n} = 1$ besitzt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Es sei $λ \in K$ ein Eigenwert von $φ$ und $P \in K [X]$ ein Polynom. Zeige, dass $P (λ)$ ein Eigenwert von^[2] $P (φ)$ ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als Blockmatrix

M = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})

mit quadratischen Matrizen $A$ und $B$ schreiben kann. Zeige, dass eine Zahl $λ \in K$ genau dann ein Eigenwert von $M$ ist, wenn $λ$ ein Eigenwert von $A$ oder von $B$ ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung und $λ \in K$ . Zeige folgende Aussagen.

Der Eigenraum
${Eig}_{λ} (φ)$

ist ein Untervektorraum von $V$ .
$λ$ ist genau dann ein Eigenwert zu $φ$ , wenn der Eigenraum ${Eig}_{λ} (φ)$ nicht der Nullraum ist.
Ein Vektor $v \in V, v \neq 0$ , ist genau dann ein Eigenvektor zu $λ$ , wenn $v \in {Eig}_{λ} (φ)$ ist.

Aufgabe

Es bezeichne $V = ℝ [X]_{\leq d}$ die Menge aller reellen Polynome vom Grad $\leq d$ . Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zum Ableitungsoperator

V ⟶ V, P ⟼ P^{'} .

Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.

Aufgabe

Es sei $V$ der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung $f \mapsto f^{'}$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $V$ ist.

b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.^[3]

c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass

kern φ = {Eig}_{0} (φ)

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Es sei $λ \in K$ und sei

U = {Eig}_{λ} (φ)

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich $φ$ zu einer linearen Abbildung

φ |_{U} : U ⟶ U, v ⟼ φ (v),

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor $λ$ ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung und seien $λ_{1} \neq λ_{2}$ Elemente in $K$ . Zeige, dass

{Eig}_{λ_{1}} (φ) \cap {Eig}_{λ_{2}} (φ) = 0

ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal $\dim_{K} (V)$ viele Eigenwerte zu $φ$ gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $φ$ genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor $v \in V, v \neq 0,$ ein Eigenvektor von $φ$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

M = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) .

Zeige, dass $M$ als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von $M$ als komplexer Matrix.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in {Mat}_{2} (ℝ) .

Man charakterisiere in Abhängigkeit von $a, b, c, d$ , wann eine solche Matrix

zwei verschiedene Eigenwerte,
einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
keinen Eigenwert,

besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$ -dimensionaler Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Es sei $λ \neq 0$ ein Eigenwert von $φ$ und $v$ ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis $v, u_{2}, \dots, u_{n}$ von $V$ eine Basis $v, w_{2}, \dots, w_{n}$ gibt mit $⟨ v, u_{j} ⟩ = ⟨ v, w_{j} ⟩$ und mit

φ (w_{j}) \in ⟨ u_{i}, i = 2, \dots, n ⟩

für alle $j = 2, \dots, n$ .

Zeige ebenso, dass dies bei $λ = 0$ im Allgemeinen nicht möglich ist.

Fußnoten

↑ Der Wert $n = 0$ ist hier erlaubt, aber aussagelos.
↑ Der Ausdruck $P (φ)$ bedeutet, dass man die lineare Abbildung $φ$ in das Polynom $P$ einsetzt. Dabei muss man $X^{n}$ als $φ^{n}$ , also als die $n$ -fache Hintereinanderschaltung von $φ$ mit sich selbst, interpretieren, die Addition wird zur Addition von linearen Abbildungen, u.s.w.
↑ In diesem Zusammenhang spricht man auch von Eigenfunktionen.

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[1] Der Wert $n = 0$ ist hier erlaubt, aber aussagelos.

[2] Der Ausdruck $P (φ)$ bedeutet, dass man die lineare Abbildung $φ$ in das Polynom $P$ einsetzt. Dabei muss man $X^{n}$ als $φ^{n}$ , also als die $n$ -fache Hintereinanderschaltung von $φ$ mit sich selbst, interpretieren, die Addition wird zur Addition von linearen Abbildungen, u.s.w.

[3] In diesem Zusammenhang spricht man auch von Eigenfunktionen.

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