- Partielle Ableitungen
Es sei
eine durch
-
gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index die übrigen Variablen
, ,
als Konstanten, so erhält man eine Abbildung
,
die nur von abhängt
(entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter).
Falls diese Funktion, als Funktion in einer Variablen, differenzierbar ist, so sagen wir, dass partiell differenzierbar bezüglich ist und bezeichnen diese Ableitung mit . Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese einfach berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von
.
Es sei
offen und sei eine Abbildung
durch
-
gegeben. Es sei
ein Punkt. Für fixierte Indizes und betrachten wir die Abbildung
-
(wobei
ein reelles Intervall mit
derart sei, dass
gilt)
als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen
, ,
fixiert seien. Ist diese Funktion in
differenzierbar,
so heißt partiell differenzierbar in bezüglich der Koordinate . Man bezeichnet diese Ableitung
(welche ein Element in ist)
mit
-
und nennt sie die -te partielle Ableitung von in .
Die Abbildung heißt partiell differenzierbar im Punkt , falls für alle und die partiellen Ableitungen in existieren. Die -te partielle Ableitung von in wird mit
-
bezeichnet.
Diese Definition führt die -te partielle Ableitung einer Funktion
auf den Ableitungsbegriff in einer Variablen zurück, indem die anderen Variablen „festgehalten“ und als Parameter betrachtet werden. Daher bedeutet die Existenz der -ten partiellen Ableitung von im Punkt einfach die Existenz des
Limes
-
Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Insbesondere machen partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist, bzw. wenn eben von vornherein ein betrachtet wird.
Es sei
offen,
ein Punkt und sei
-
eine
Abbildung.
Dann ist in genau dann
partiell differenzierbar,
wenn die
Richtungsableitungen
von sämtlichen Komponentenfunktionen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
In diesem Fall stimmt die -te partielle Ableitung von in mit der
Richtungsableitung
von in in Richtung des -ten Standardvektors überein, und ist in genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
Es sei
.
Wir können uns wegen
Lemma 46.6
auf eine einzige Komponentenfunktion beschränken. Da
partielle Ableitungen
die
Ableitungen
von Funktionen in einer Variablen sind, ergibt sich
Es sei
offen
und sei eine
Abbildung
-
gegeben. Dann heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt
partiell differenzierbar
ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
-
die -te partielle Ableitung von .
Es sei
offen
und sei eine
Abbildung
-
gegeben, die in
partiell differenzierbar
sei. Dann heißt die Matrix
-
die Jacobi-Matrix zu im Punkt .
- Höhere Richtungsableitungen
Es seien
und
endlichdimensionale -Vektorräume und
eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung
und einen fixierten Vektor
ist die Richtungsableitung in Richtung
(falls diese existiert)
selbst eine Abbildung
-
Als solche ist es sinnvoll zu fragen, ob in Richtung
differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
-
eine
Abbildung
auf einer offenen Menge
und Vektoren in . Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die
Richtungsableitung
in Richtung existiert. Sie wird mit
-
bezeichnet.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und
-
eine
Abbildung
auf einer
offenen Menge
.
Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die
höhere Richtungsableitung
-
in Richtung existiert und
stetig
ist.
Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung in jede Richtung
existiert und stetig ist.
Polynomfunktionen sind beliebig oft stetig differenzierbar, siehe
Aufgabe 47.11.
Auch partielle Ableitungen kann man wie Richtungsableitungen hintereinanderausführen. Dies führt zu Schreibweisen wie
-
und ähnliche.
- Der Satz von Schwarz
In diesem Beispiel zeigt sich ein allgemeiner Sachverhalt, der
Satz von Schwarz
(oder auch Satz von Clairaut)
heißt.
Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.
Durch Betrachten der einzelnen Komponenten von bezüglich einer
Basis
von können wir annehmen, dass
und
ist. Wir wollen den eindimensionalen
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
anwenden. Sei
ein fixierter Punkt. Wir betrachten die Abbildung und studieren diese für hinreichend kleine und . Wir fixieren diese
(für den Moment)
und betrachten die differenzierbare Abbildung
-
Nach
dem Mittelwertsatz
gibt es ein
(von und abhängiges)
mit
-
Nun wenden wir erneut
den Mittelwertsatz
auf die differenzierbare Abbildung
-
an, und erhalten die Existenz eines
mit
-
Zusammen erhalten wir
-
Wenden wir denselben Trick in umgekehrter Reihenfolge an, so erhalten wir
und ,
sodass dieser Ausdruck auch gleich
-
ist. Somit schließen wir für
(hinreichend kleine)
gegebene
,
dass positive
und
existieren mit
-
Für und konvergieren auch und gegen . Die Stetigkeit der beiden zweiten Richtungsableitungen impliziert für die Gleichheit
-