Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Reell-differenzierbare Funktionen}
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeiten}{}{.}
Neben den
\definitionsverweis {holomorphen Abbildungen}{}{}
von $M$ nach $N$ sind auch reell-differenzierbare Abbildungen wichtig, wobei man sich zumeist auf $C^\infty$-Abbildungen beschränkt. Besonders wichtig ist der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dann geht es um die komplexwertigen reell-differenzierbaren Funktionen. Zwar interessiert man sich im Kontext von komplexen Mannigfaltigkeiten in erster Linie für holomorphe Abbildungen, doch treten differenzierbare Funktionen
\zusatzklammer {und differenzierbare Differentialformen} {} {}
als wichtiges Hilfsmittel auf. Wichtige Aspekte sind.
\aufzaehlungsechs{Charakterisierung von holomorphen Abbildungen unter den differenzierbaren Abbildungen
\zusatzklammer {siehe
Satz 1.8,
Satz 16.14} {} {.}
}{Approximationsprozesse durch differenzierbare Abbildungen.
}{Höhere Flexibilität der differenzierbaren Funktionen
\zusatzklammer {platte Funktionen, Partition der Eins} {} {.}
}{Engere Beziehung zur Topologie, Homologiegruppen, Fundamentalgruppe, Integrale über stetige Wege.
}{Maßtheoretische Aspekte, Flächeninhalte.
}{Garbentheoretische Auflösung
\zusatzklammer {siehe
Satz 16.14,
Satz 16.15} {} {,} Kohomologieberechnung
\zusatzklammer {siehe
Satz 25.5,
Korollar 25.6} {} {.}
}
\inputdefinition
{}
{
Auf einer
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ bezeichnet man mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal E } { \left( M \right) }
}
{ =} { C^\infty(M, {\mathbb C} )
}
{ =} { { \left\{ f:M \rightarrow {\mathbb C} \mid f \text{ unendlich oft reell differenzierbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge aller komplexwertigen Funktionen auf $M$, die im reellen Sinn unendlich oft
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
sind.
}
Da die Übergangsabbildungen bei einem Kartenwechsel biholomorph sind, sind diese auch $C^\infty$-diffeomorph und daher ist die unendliche Differenzierbarkeit von reellwertigen und komplexwertigen Funktionen wohldefiniert.
{Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/Garbe/Erste Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Zuordnung
\mathl{U \mapsto { \mathcal E } { \left( U \right) }}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen ist eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
auf $M$.
} {Die
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
${\mathcal O}_{ M }$ ist eine
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
von ${ \mathcal E }$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.1. }
Der Tangentialraum $T_PM$ einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist einfach der reelle Tangentialraum der zugrundeliegenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit, allerdings mit einer komplexen Vektorraumstruktur, die unmittelbar von der komplexen Mannigfaltigkeitsstruktur herrührt, siehe
Lemma 4.13.
Die Tangentialabbildung zu einer holomorphen Abbildung
\maabb {\varphi} { M} { N
} {}
führt nach
Lemma 5.1
und insbesondere
Lemma 5.3 (3)
zu einer
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {T_P(\varphi)} { T_PM } { T_{\varphi(P)}N
} {.}
Eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {M} {N
} {}
führt zu einer $\R$-linearen Abbildung
\maabbdisp {T_P(\varphi)} { T_PM } { T_{\varphi(P)}N
} {.}
Diese Abbildung respektiert nur die reelle, aber nicht die komplexe Struktur auf den beiden komplexen Vektorräumen. Nach
Lemma Anhang 1.2
besitzt aber jede reelle lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen eine eindeutige Summenzerlegung in eine ${\mathbb C}$-lineare und eine
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilineare}{}{}
Abbildung.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Holomorphe Zerlegung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\zusatzklammer {reell} {} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {T_P(\varphi)} {T_PM} {T_{\varphi(P)}N
} {}
eine eindeutige Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_P (\varphi)
}
{ =} { \psi + \theta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\psi$
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {linear}{}{}
und
$\theta$
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinear}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 77.10 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)) (3) und Lemma Anhang 1.2.
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_P(\varphi)
}
{ =} { T_P^h(\varphi) + T_P^a(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nennen $T_P^h(\varphi)$ die holomorphe Tangentialabbildung und $T_P^a(\varphi)$
die antiholomorphe Tangentialabbildung. Es ist keineswegs so, dass eine differenzierbare Abbildung
\zusatzklammer {sagen wir nach ${\mathbb C}$} {} {}
eine Zerlegung in eine holomorphe und eine antiholomorphe Funktion besitzt, dies gilt nur auf der Ebene der Linearisierungen.
Wir wollen diese Zerlegung auf reell-differenzierbare Funktionen von $M$ nach ${\mathbb C}$
genauer studieren. Eine reell-differenzierbare Funktion
\maabb {f} {M} { {\mathbb C}
} {}
auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$ definiert für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $\R$-lineare Abbildung
\maabbdisp {d_Pf} { T_PM} { T_{f(P)} {\mathbb C} \cong {\mathbb C}
} {.}
Diese Abbildung ist weder ein Element des komplexen Kotangentialraumes, da sie nicht ${\mathbb C}$-linear ist, noch ein Element des reellen Kotangentialraumes, da die Zielmenge ${\mathbb C}$ und nicht $\R$ ist. Es gibt aber eine kanonische Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_Pf
}
{ =} { d_P^hf+d_P^af
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in eine
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Linearform}{}{}
$d_P^hf$
\zusatzklammer {die ein Element des komplexen Kotangentialraumes ist} {} {}
und eine ${\mathbb C}$-antilineare Form $d_P^af$. Diese Zerlegung erfasst man mit der folgenden Definition.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Man nennt den komplexen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Hom}_{ \overline{ {\mathbb C} } } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) }} { }
der
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen Homomorphismen}{}{}
des
\definitionsverweis {Tangentialraumes}{}{}
\mathl{T_PM}{} an $P$ nach ${\mathbb C}$ den
\definitionswort {antiholomorphen Kotangentialraum }{}
an $P$. Er wird mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ T }^*_ P M
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ \overline{ {\mathbb C} } } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezeichnet.
}
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb C} } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) } \oplus \operatorname{Hom}_{ \overline{ {\mathbb C} } } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) }
}
{ =} { T^*_ P M \oplus \overline{ T }^*_ P M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Differenzierbare Differentialformen}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E^{(1)}
}
{ =} { \biguplus_{P \in M} \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dies ist ein reelles Vektorbündel über $M$ vom Rang $4n$, wenn $n$ die komplexe Dimension von $M$ bezeichnet. Lokal besitzt es eine Darstellung der Form
\mathl{U \times \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( {\mathbb C}^n , {\mathbb C} \right) }}{} für ein Kartengebiet $U$. Daher ist auch klar, was man unter einem stetigen oder einem differenzierbaren Schnitt in diesem Bündel versteht. Das Bündel besitzt ferner eine Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E^{(1)}
}
{ =} { T^*M \oplus \overline{ T }^*M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in das holomorphe und das antiholomorphe Kotangentialbündel, das analog zum holomorphen Kotangentialbündel definiert wird.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{.}
Unter einer
\definitionswort {differenzierbaren 1-Form}{}
auf $M$ versteht man eine $C^\infty$-Abbildung
\maabbdisp {\omega} {M} { E^{(1)} = \biguplus_{P \in M} \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) }
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega(P)
}
{ \in }{ \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Die Menge aller differenzierbaren 1-Formen auf $M$ wird mit ${ \mathcal E }^{(1)} (M)$ bezeichnet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {differenzierbare 1-Form}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{ { \mathcal E }^{(1)}(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {vom Typ}{}
$(1,0)$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega(P)
}
{ \in }{ T_P^*M
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Insbesondere ist eine holomorphe Differentialform eine $(1,0)$-Form. Wenn $\omega$ eine holomorphe Differentialform ist und $f$ eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion, so ist $f \omega$ eine $(1,0)$-Form, aber nur bei $f$ holomorph selbst wieder eine holomorphe Differentialform.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {differenzierbare 1-Form}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{ { \mathcal E }^{(1)}(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {vom Typ}{}
$(0,1)$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega(P)
}
{ \in }{ \overline{ T } _P^*M
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( T_PM, {\mathbb C} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Variablen $z$ ist $dz$ diejenige
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{,}
die in jedem Punkt die Identität auf
\zusatzklammer {dem Tangentialraum} {} {}
${\mathbb C}$ ist und $d\, \overline{ z }$ ist diejenige
\definitionsverweis {differenzierbare Differentialform}{}{,}
die in jedem Punkt die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
auf ${\mathbb C}$ ist. Eine beliebige reell-differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $U$ besitzt die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { fdz +g d\, \overline{ z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit komplexwertigen $C^\infty$-Funktionen
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
auf $U$, und dies ist die Zerlegung von $\omega$ im Sinne von
Lemma Anhang 1.2.
Die Form ist vom Typ $(1,0)$ genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. In diesem Fall ist die Form genau dann holomorph, wenn $f$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
ist.
}
{Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/Garben/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Auf einer
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ bilden die differenzierbaren 1-Formen
\mathl{{ \mathcal E }^{(1)}}{} und die differenzierbaren 1-Formen
\mathkor {} {{ \mathcal E }^{(1,0)}} {bzw.} {{ \mathcal E }^{(0,1)}} {}
vom Typ
\mathkor {} {(1,0)} {bzw.} {(0,1)} {}}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {Garben}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.9. }
Die Garbe der holomorphen Differentialformen $\Omega_X$ ist eine Untergarbe der Garbe der $(1,0)$-Formen.
{Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/Zerlegung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Auf einer
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ besitzt die Garbe der differenzierbaren 1-Formen ${ \mathcal E }^{(1)}$}
\faktfolgerung {eine kanonische Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal E }^{(1)}
}
{ =} { { \mathcal E }^{(1,0)} \oplus { \mathcal E }^{(0,1)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.10. }
Die Funktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ { \mathcal E } { \left( M \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind unendlich oft differenzierbar, was eine lokale Eigenschaft ist, es gibt aber keine Ableitungsfunktion auf $M$. Stattdessen ist die Ableitung eine differenzierbare $1$-Form, nämlich $df$, also für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $\R$-lineare Abbildung
\maabbdisp {d_Pf} {T_PM} {{\mathbb C}
} {.}
So erhält man eine Gesamtableitung
\maabbeledisp {d} { { \mathcal E } { \left( M \right) } } {{ \mathcal E^{(1)} } { \left( M \right) }
} {f} { df
} {,}
bzw. die Garbenversion davon auf jeder offenen Menge. Mit der in
Lemma 16.10
gezeigten Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal E }^{(1)}
}
{ = }{ { \mathcal E }^{(1,0)} \oplus { \mathcal E }^{(0,1)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhält man auch die holomorphe Ableitung
\maabbeledisp {d^h} { { \mathcal E } { \left( M \right) } } {{ \mathcal E^{(1,0)} } { \left( M \right) }
} {f} { d^hf
} {,}
und die antiholomorphe Ableitung
\maabbeledisp {d^a} { { \mathcal E } { \left( M \right) } } {{ \mathcal E^{(0,1)} } { \left( M \right) }
} {f} { d^af
} {.}
Lokal kann man diese Abbildungen folgendermaßen beschreiben. Für eine offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den komplexen Koordinatenfunktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_j
}
{ =} { x_j +y_j { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den reellwertigen Koordinatenfunktionen $x_j,y_j$ und eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion $f$ setzt man daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial z_j } }
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } - { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial y_j } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z_j } } }
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } + { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial y_j } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/Ableitungsform/Zerlegung/Lokale Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {M} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{df
}
{ =} { d^hf + d^af
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die kanonische Zerlegung der zugehörigen Differentialform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{df
}
{ \in }{ { \mathcal E }^{(1)} (M)
}
{ = }{ { \mathcal E }^{(1,0)} (M) \oplus { \mathcal E }^{(0,1)} (M)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Kartengebiet mit lokalen Koordinaten
\mathl{z_1 , \ldots , z_n}{.}}
\faktfolgerung {Dann gelten auf $U$ die Identitäten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d^h f
}
{ =} { \sum_{j = 1 }^n { \frac{ \partial f }{ \partial z_j } } dz_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d^a f
}
{ =} { \sum_{j = 1 }^n { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z }_j } } d \overline{ z }_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_j
}
{ =} { x_j + { \mathrm i} y_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{df
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \frac{ \partial f }{ \partial {x_j} } } dx_j + \sum_{ j = 1}^n { \frac{ \partial f }{ \partial y_j } } dy_j
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial {x_j} } } dx_j + { \frac{ \partial f }{ \partial y_j } } dy_j \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \sum_{j = 1 }^n { \left( { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } - { \mathrm i} { \frac{ \partial f }{ \partial y_j } } \right) } { \left( dx_j + { \mathrm i} dy_j \right) } + { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } + { \mathrm i} { \frac{ \partial f }{ \partial y_j } } \right) } { \left( dx_j - { \mathrm i} dy_j \right) } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }\sum_{j = 1 }^n { \left( { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } - { \mathrm i} { \frac{ \partial f }{ \partial y_j } } \right) } dz_j + { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } + { \mathrm i} { \frac{ \partial f }{ \partial y_j } } \right) } d \overline{ z }_j \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{j = 1 }^n { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial z_j } } dz_j + { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z }_j } } d \overline{ z }_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1 }^n { \frac{ \partial f }{ \partial z_j } } dz_j + \sum_{j = 1 }^n { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z }_j } } d \overline{ z }_j
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
und die Summe links gehört zu ${ \mathcal E }^{(1,0)}$.
\zwischenueberschrift{Der Dolbeault-Komplex}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Linksexakt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Komplex
\mathdisp {0 \longrightarrow {\mathcal O}_{ X } \longrightarrow { \mathcal E } \stackrel{d^a}{\longrightarrow } { \mathcal E }^{(0,1)}} { }
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Untergarbenbeziehung wurde schon in
Lemma 16.2
gezeigt. Zum Nachweis der Exaktheit können wir annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Teilmenge ist. Nach
Lemma 16.11
wird $d^a$ durch
\mathl{f \mapsto { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } d \, \overline{ z }}{} beschrieben. Die Holomorphie von $f$ ist dann nach
Cauchy-Riemann
äquivalent zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d^a f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Exaktheit rechts ist schwieriger zu zeigen, sie beruht auf dem folgenden Satz der Funktionentheorie, den wir hier nicht beweisen.
\inputfakt{Dolbeault/C/Offene Kreisscheibe/Differenzierbare Funktion/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Kreisscheibe
\zusatzklammer {wobei der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erlaubt ist} {} {}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ { \mathcal E } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ { \mathcal E } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Exakt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Komplex
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal E } \, \stackrel{ d^a }{\longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(0,1)} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 16.12 und, da man die Exaktheit lokal testen kann, unter Verwendung von Lemma 16.11 aus Satz 16.13.
\zwischenueberschrift{Äußere Ableitung}
Für Formen von höherem Grad und äußerer Ableitung siehe
Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt und Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt
Im Zweidimensionalen besitzt eine $2$-Form die lokale Gestalt
\mathdisp {h dx \wedge dy} { }
mit einer reell- oder komplexwertigen differenzierbaren Funktion $h$. Im Komplexen gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{dz \wedge d \, \overline{ z }
}
{ =} { -2 { \mathrm i} dx \wedge dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die äußere Ableitung bildet eine $1$-Form
\mathl{fdx+gdy}{} auf
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{d (fdx+gdy)
}
{ =} { df \wedge dx +dg \wedge dy
}
{ =} { { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x } } dx + { \frac{ \partial f }{ \partial y } } dy \right) } \wedge dx + { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial x } } dx + { \frac{ \partial g }{ \partial y } } dy \right) } \wedge dy
}
{ =} { { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial x } } - { \frac{ \partial f }{ \partial y } } \right) } dx \wedge dy
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
ab. Eine Form $fdz$ wird auf
\mathl{- { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } dz \wedge d \, \overline{ z }}{} abgebildet.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Komplex
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_X \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(1,0)} \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(2)} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da die Exaktheit eine lokale Frage ist, können wir direkt annehmen, dass $X$ eine offene Kreisscheibe $U$ ist. Eine Differentialform in der Mitte besitzt die Gestalt
\mathl{fdz}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ { \mathcal E } (U)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sie wird auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ df
}
{ = }{ - { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } dz \wedge d \, \overline{ z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abgebildet. Dies ist genau dann $0$, wenn
\mathl{{ \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }}{} gleich $0$ ist. Deshalb folgt die Exaktheit in der Mitte aus der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung und die Exaktheit rechts aus
Satz 16.13.
Nach
Satz 88.10 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))
gibt es auf einer riemannschen Fläche mit abzählbarer Topologie eine differenzierbare nullstellenfreie Flächenform $\tau$. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X \tau
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt im kompakten Fall mit
Satz 89.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)),
dass zu einer $1$-Form $\omega$ die Ableitung $d\tau$ nicht die Flächenform ist. Eine positive Flächenform liegt also in der Situation des vorstehenden Satzes nicht im globalen Bild und wird auf eine nichttriviale erste Kohomologieklasse in
\mathl{H^1(X, \Omega)}{} abgebildet.
\inputfaktbeweis
{Riemannsche Fläche/Dolbeault-Sequenzen/Multiplikation mit holomorpher Form/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einer
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{ \Gamma (X , \Omega_X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$}
\faktfolgerung {gehört das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H^0(X, {\mathcal O}_{ X } ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H^0 (X, { \mathcal E } ) & \stackrel{ d^a }{\longrightarrow} & H^0 (X, { \mathcal E^{(0,1)} } ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 & \\ \downarrow & & \!\!\!\!\! \cdot \omega \downarrow & & \downarrow \cdot \omega \!\!\!\!\! & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H^0(X, \Omega_X ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H^0 (X, { \mathcal E^{(1,0)} }) & \stackrel{ d }{\longrightarrow} & H^0 (X, { \mathcal E^{(2)} } ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 &\!\!\!\!\! \end{matrix}} { }
von
\definitionsverweis {Garben}{}{}
mit exakten Zeilen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Exaktheit der ersten Zeile ist
Satz 16.14,
die Exaktheit der zweiten Zeile ist
Satz 16.15.
Zu einer Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ H^0(X, { \mathcal E } )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Satz 86.4 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)) (3)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(f \omega)
}
{ =} { (df) \wedge \omega +f d \omega
}
{ =} { (df) \wedge \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja die holomorphe Form geschlossen ist.