Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 18

Aufgabe

Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}V_{i+1}/V_{i}\cong K\,$

für ${}i=0,\ldots ,n-1$.

Aufgabe

Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$. Wir betrachten ${}V$ als reellen Vektorraum der reellen Dimension ${}2n$. Zeige, dass es reelle Untervektorräume

${}W_{i}\subseteq V\,$

derart gibt, dass

${}0\subset W_{1}\subset V_{1}\subset W_{2}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset W_{n}\subset V_{n}\,$

eine reelle Fahne ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M_{i}$ die Dimension ${}i$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von ${}R$ gleich eins ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Zeige, dass die Dimension von ${}{\mathfrak {p}}$ gleich der Dimension des Restklassenringes ${}R/{\mathfrak {p}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Zeige, dass die Höhe von ${}{\mathfrak {p}}$ gleich der Dimension der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}R$ hat Krulldimension ${}0$.
2. ${}R$ ist ein artinscher Ring.
3. ${}R$ besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
4. Es gibt eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}{\mathfrak {m}}^{n}=0$ für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.
5. Die Reduktion von ${}R$ ist ein Produkt von Körpern.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus zwischen den Integritätsbereichen ${}R$ und ${}S$. Die Krulldimension dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann ${}\varphi$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Ring. Zeige, dass aus ${}{\mathfrak {m}}^{n+1}={\mathfrak {m}}^{n}$ folgt, dass ${}{\mathfrak {m}}^{n}=0$ ist.