Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 18

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Aufgabe

Es sei

eine Fahne in einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Zeige

für .


Aufgabe

Es sei

eine Fahne in einem -Vektorraum . Wir betrachten als reellen Vektorraum der reellen Dimension . Zeige, dass es reelle Untervektorräume

derart gibt, dass

eine reelle Fahne ist.


Aufgabe *

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit die Dimension besitzt.


Aufgabe

Sei ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von gleich eins ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Zeige, dass die Dimension von gleich der Dimension des Restklasssenringes ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Zeige, dass die Höhe von gleich der Dimension der Lokalisierung ist.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. hat Krulldimension .
  2. ist ein artinscher Ring.
  3. besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
  4. Es gibt eine natürliche Zahl mit für jedes maximale Ideal .
  5. Die Reduktion von ist ein Produkt von Körpern.


Aufgabe

Es sei ein surjektiver Ringhomomorphismus zwischen den Integritätsbereichen und . Die Krulldimension dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher lokaler Ring. Zeige, dass aus folgt, dass ist.



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