Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 17

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Multiplikation auf dem assoziierten graduierten Ring ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$ wohldefiniert ist.

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$ und ${}{\mathfrak {a}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Zeige, dass der zugehörige assoziierte graduierte Ring isomorph zum Polynomring ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}R=\mathbb {Z} _{(p)}$ der zugehörige lokale Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)\mathbb {Z} _{(p)}$. Bestimme den assoziierten graduierten Ring zu ${}{\mathfrak {m}}$.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass durch

$R/{\mathfrak {a}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R,\,X_{i}\longmapsto [f_{i}],$

wobei ${}[f_{i}]$ die Restklasse von ${}f_{i}$ in ${}{\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}$ bezeichnet, ein surjektiver graduierter ${}R/{\mathfrak {a}}$- Algebrahomomorphismus gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme zu einer monomialen ebenen Kurve ${}V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ den assoziierten graduierten Ring ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R$, mit ${}R=K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ und ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$.

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ und sei ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Wir setzen

$\varphi \colon K[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,\,T_{i}\longmapsto {\tilde {X}}_{i},$

wobei ${}{\tilde {X}}_{i}$ die Restklasse von ${}X_{i}$ modulo ${}{\mathfrak {m}}^{2}$ bezeichnet. Es sei ${}F\in {\mathfrak {b}}$ mit der homogenen Zerlegung

${}F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$

Zeige, dass ${}F_{d}(T_{1},\ldots ,T_{n})$ zum Kern von ${}\varphi$ gehört.

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ mit einem homogenen Ideal und sei ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Zeige

${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong R\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$ mit der homogenen Zerlegung ${}F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}$ und sei ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Zeige

${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong K[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(F_{d})\,.$

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Zu einem Untermodul ${}U\subseteq V$ eines ${}R$- Moduls ${}V$ bezeichnet man mit ${}{\mathfrak {a}}U$ den von allen Produkten

$fv{\text{ mit }}f\in {\mathfrak {a}}{\text{ und }}v\in U$

erzeugten Untermodul.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale in einem kommutativen Ring. Zeige, dass das Idealprodukt ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ mit dem Produkt ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ aus dem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ und dem ${}R$- Untermodul ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale in einem kommutativen Ring und ${}U\subseteq V$ ein ${}R$- Untermodul eines ${}R$- Moduls ${}V$. Zeige

${}{\left({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\right)}\cdot U={\mathfrak {a}}\cdot {\left({\mathfrak {b}}\cdot U\right)}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Ideale in einem kommutativen Ring und sei ${}U\subseteq V$ ein ${}R$- Untermodul eines ${}R$- Moduls ${}V$. Zeige

${}{\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}\cdot U={\mathfrak {a}}\cdot U+{\mathfrak {b}}\cdot U\,.$

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring und seien ${}U,W\subseteq V$ ${}R$- Untermoduln eines ${}R$- Moduls ${}V$. Zeige

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\left(U+W\right)}={\mathfrak {a}}\cdot U+{\mathfrak {a}}\cdot W\,.$

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Homomorphismus zwischen den ${}R$- Moduln ${}M$ und ${}N$ und sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Zeige, dass dies in natürlicher Weise zu einem homogenen Homomorphismus

$\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}N$

führt.

Aufgabe

Es sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{r}$ die homogene Zerlegung eines Polynoms ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}m\leq r$ und es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$. Zeige, dass für jedes ${}d\geq m$ die Multiplikationsabbildung

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,G\longmapsto FG,$

einen injektiven, wohldefinierten ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$- Modulhomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d-m}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}$

festlegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {a}}$. Zu einem Ideal ${}I\subseteq R$ welches ${}{\mathfrak {a}}$ enthält, sei ${}I^{\prime }=IR/{\mathfrak {a}}$ das zugehörige Ideal in ${}S$. Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

${}R/I\cong S/I^{\prime }\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$. Es sei ${}S=R/{\mathfrak {b}}$ und ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {a}}S$ das Bildideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}^{n}S={\tilde {\mathfrak {a}}}^{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}N$ ein ${}R$- Modul mit ${}R$- Untermoduln ${}L\subseteq M\subseteq N$. Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

miteinander in Beziehung stehen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}I,J\subseteq R$ Ideale. Zeige, dass die Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\cap J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\times R/J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I+J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

mit ${}r\mapsto (r,r)$ und ${}(s,t)\mapsto s-t$ exakt ist.

Aufgabe

Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität der zweidimensionalen ADE-Singularitäten.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring mit Hilbert-Samuel-Multiplizität ${}e$. Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität des ${}R$- Moduls ${}R^{n}$.

Aufgabe

Es sei ${}\Delta$ ein simplizialer Komplex, ${}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }$ der zugehörige Stanley-Reisner-Ring und ${}R$ die Lokalisierung von ${}S$ am maximalen Ideal ${}{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Die Dimension von ${}\Delta$ sei ${}d$ und ${}\Delta$ besitze ${}k$ Facetten. Zeige, dass die Hilbert-Samuel-Multiplizität von ${}R$ gleich ${}k$ ist.

Aufgabe *

Es sei

${}F=F_{m}+F_{m+1}+\cdots +F_{d}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

die homogene Zerlegung eines Polynoms und

${}R={\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\right)}/(F)\,$

der zugehörige lokale Ring. Zeige, dass der Obergrad ${}d$ keine Invariante des lokalen Ringes ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V=V(XYZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$.

1. Bestimme die glatten Punkte von ${}V$.
2. Skizziere ${}V$ und den singulären Ort von ${}V$.
3. Analysiere das Schnittverhalten von ${}V$ mit beliebigen Ebenen.
4. Analysiere das Schnittverhalten von ${}V$ mit beliebigen Geraden.
5. Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes ${}K[X,Y,Z]/(XYZ)$ für die Argumente ${}n\leq 4$.
6. Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes ${}K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XYZ)$?