Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 17

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Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Multiplikation auf dem assoziierten graduierten Ring wohldefiniert ist.


Aufgabe

Sei der Polynomring über einem Körper und . Zeige, dass der zugehörige assoziierte graduierte Ring isomorph zum Polynomring ist.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und der zugehörige lokale Ring mit dem maximalen Ideal . Bestimme den assoziierten graduierten Ring zu .


Aufgabe

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass durch

wobei die Restklasse von in bezeichnet, ein surjektiver graduierter -Algebrahomomorphismus gegeben ist.


Aufgabe

Bestimme zu einer monomialen ebenen Kurve den assoziierten graduierten Ring , mit und .


Aufgabe

Sei und sei . Wir setzen

wobei die Restklasse von modulo bezeichnet. Sei mit der homogenen Zerlegung

Zeige, dass zum Kern von gehört.


Aufgabe

Sei mit einem homogenen Ideal und sei . Zeige


Aufgabe

Sei mit der homogenen Zerlegung und sei . Zeige


Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zu einem Untermodul eines -Moduls bezeichnet man mit den von allen Produkten

erzeugten Untermodul.


Aufgabe

Es seien Ideale in einem kommutativen Ring. Zeige, dass das Idealprodukt mit dem Produkt aus dem Ideal und dem -Untermodul übereinstimmt.


Aufgabe

Es seien Ideale in einem kommutativen Ring und ein -Untermodul eines -Moduls . Zeige


Aufgabe

Es seien Ideale in einem kommutativen Ring und sei ein -Untermodul eines -Moduls . Zeige


Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und seien -Untermoduln eines -Moduls . Zeige


Aufgabe

Es sei ein Homomorphismus zwischen den -Moduln und und sei ein Ideal. Zeige, dass dies in natürlicher Weise zu einem homogenen Homomorphismus

führt.


Aufgabe

Es sei die homogene Zerlegung eines Polynoms mit und es sei . Zeige, dass für jedes die Multiplikationsabbildung

einen injektiven, wohldefinierten -Modulhomomorphismus

festlegt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zu einem Ideal welches enthält, sei das zugehörige Ideal in . Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

gibt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring mit zwei Idealen . Es sei und das Bildideal. Zeige, dass ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein -Modul mit -Untermoduln . Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz

miteinander in Beziehung stehen.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Zeige, dass die Sequenz

mit und exakt ist.


Aufgabe

Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität der zweidimensionalen ADE-Singularitäten.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher lokaler Ring mit Hilbert-Samuel-Multiplizität . Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität des -Moduls .


Aufgabe

Es sei ein simplizialer Komplex, der zugehörige Stanley-Reisner-Ring und die Lokalisierung von am maximalen Ideal . Die Dimension von sei und besitze Facetten. Zeige, dass die Hilbert-Samuel-Multiplizität von gleich ist.


Aufgabe *

Es sei

die homogene Zerlegung eines Polynoms und

der zugehörige lokale Ring. Zeige, dass der Obergrad keine Invariante des lokalen Ringes ist.


Aufgabe

Es sei .

  1. Bestimme die glatten Punkte von .
  2. Skizziere und den singulären Ort von .
  3. Analysiere das Schnittverhalten von mit beliebigen Ebenen.
  4. Analysiere das Schnittverhalten von mit beliebigen Geraden.
  5. Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes für die Argumente .
  6. Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes ?



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