Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 17

Aufgabe

Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Multiplikation auf dem assoziierten graduierten Ring ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$ wohldefiniert ist.

Aufgabe

Es sei  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  der Polynomring über einem Körper ${}K$ und  ${}{\mathfrak {a}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$.  Zeige, dass der zugehörige assoziierte graduierte Ring isomorph zum Polynomring ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und  ${}R=\mathbb {Z} _{(p)}$  der zugehörige lokale Ring mit dem maximalen Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=(p)\mathbb {Z} _{(p)}$.  Bestimme den assoziierten graduierten Ring zu ${}{\mathfrak {m}}$.

Aufgabe

Es sei  ${}{\mathfrak {a}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq R$  ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass durch

$R/{\mathfrak {a}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R,\,X_{i}\longmapsto [f_{i}],$

wobei ${}[f_{i}]$ die Restklasse von ${}f_{i}$ in ${}{\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}$ bezeichnet, ein surjektiver graduierter ${}R/{\mathfrak {a}}$- Algebrahomomorphismus gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme zu einer monomialen ebenen Kurve ${}V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ den assoziierten graduierten Ring ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R$, mit  ${}R=K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$  und  ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$. 

Aufgabe

Es sei  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$  und sei  ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$.  Wir setzen

$\varphi \colon K[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,\,T_{i}\longmapsto {\tilde {X}}_{i},$

wobei ${}{\tilde {X}}_{i}$ die Restklasse von ${}X_{i}$ modulo ${}{\mathfrak {m}}^{2}$ bezeichnet. Es sei  ${}F\in {\mathfrak {b}}$  mit der homogenen Zerlegung

${}F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$

Zeige, dass ${}F_{d}(T_{1},\ldots ,T_{n})$ zum Kern von ${}\varphi$ gehört.

Aufgabe

Es sei  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$  mit einem homogenen Ideal und sei  ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$.  Zeige

${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong R\,.$

Aufgabe

Es sei  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$  mit der homogenen Zerlegung  ${}F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}$  und sei  ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$.  Zeige

${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong K[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(F_{d})\,.$

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal. Zu einem Untermodul  ${}U\subseteq V$  eines ${}R$- Moduls ${}V$ bezeichnet man mit ${}{\mathfrak {a}}U$ den von allen Produkten

$fv{\text{ mit }}f\in {\mathfrak {a}}{\text{ und }}v\in U$

erzeugten Untermodul.

Aufgabe

Es seien  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  Ideale in einem kommutativen Ring. Zeige, dass das Idealprodukt ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ mit dem Produkt ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ aus dem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ und dem ${}R$- Untermodul  ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R$  übereinstimmt.

Aufgabe

Es seien  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  Ideale in einem kommutativen Ring und  ${}U\subseteq V$  ein ${}R$- Untermodul eines ${}R$- Moduls ${}V$. Zeige

${}{\left({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\right)}\cdot U={\mathfrak {a}}\cdot {\left({\mathfrak {b}}\cdot U\right)}\,.$

Aufgabe

Es seien  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  Ideale in einem kommutativen Ring und sei  ${}U\subseteq V$  ein ${}R$- Untermodul eines ${}R$- Moduls ${}V$. Zeige

${}{\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}\cdot U={\mathfrak {a}}\cdot U+{\mathfrak {b}}\cdot U\,.$

Aufgabe

Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal in einem kommutativen Ring und seien  ${}U,W\subseteq V$  ${}R$- Untermoduln eines ${}R$- Moduls ${}V$. Zeige

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\left(U+W\right)}={\mathfrak {a}}\cdot U+{\mathfrak {a}}\cdot W\,.$

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Homomorphismus zwischen den ${}R$- Moduln ${}M$ und ${}N$ und sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal. Zeige, dass dies in natürlicher Weise zu einem homogenen Homomorphismus

$\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}N$

führt.

Aufgabe

Es sei  ${}F=F_{m}+\cdots +F_{r}$  die homogene Zerlegung eines Polynoms  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  mit  ${}m\leq r$  und es sei  ${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$.  Zeige, dass für jedes  ${}d\geq m$  die Multiplikationsabbildung

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,G\longmapsto FG,$

einen injektiven, wohldefinierten ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$- Modulhomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d-m}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}$

festlegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring  ${}S=R/{\mathfrak {a}}$.  Zu einem Ideal  ${}I\subseteq R$  welches ${}{\mathfrak {a}}$ enthält, sei  ${}I^{\prime }=IR/{\mathfrak {a}}$  das zugehörige Ideal in ${}S$. Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

${}R/I\cong S/I^{\prime }\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit Idealen  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$.  Es sei  ${}S=R/{\mathfrak {b}}$  und  ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {a}}S$  das Bildideal. Zeige, dass  ${}{\mathfrak {a}}^{n}S={\tilde {\mathfrak {a}}}^{n}$  ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}N$ ein ${}R$- Modul mit ${}R$- Untermoduln  ${}L\subseteq M\subseteq N$.  Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

miteinander in Beziehung stehen.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien  ${}I,J\subseteq R$  Ideale. Zeige, dass die Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\cap J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\times R/J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I+J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

mit ${}r\mapsto (r,r)$ und ${}(s,t)\mapsto s-t$ exakt ist.

Aufgabe

Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität der zweidimensionalen ADE-Singularitäten.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring mit Hilbert-Samuel-Multiplizität ${}e$. Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität des ${}R$- Moduls ${}R^{n}$.

Aufgabe

Es sei ${}\Delta$ ein simplizialer Komplex,  ${}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I_{\Delta }$  der zugehörige Stanley-Reisner-Ring und ${}R$ die Lokalisierung von ${}S$ am maximalen Ideal ${}{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$. Die Dimension von ${}\Delta$ sei ${}d$ und ${}\Delta$ besitze ${}k$ Facetten. Zeige, dass die Hilbert-Samuel-Multiplizität von ${}R$ gleich ${}k$ ist.

Aufgabe *

Es sei

${}F=F_{m}+F_{m+1}+\cdots +F_{d}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

die homogene Zerlegung eines Polynoms und

${}R={\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\right)}/(F)\,$

der zugehörige lokale Ring. Zeige, dass der Obergrad ${}d$ keine Invariante des lokalen Ringes ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei  ${}V=V(XYZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. 

1. Bestimme die glatten Punkte von ${}V$.
2. Skizziere ${}V$ und den singulären Ort von ${}V$.
3. Analysiere das Schnittverhalten von ${}V$ mit beliebigen Ebenen.
4. Analysiere das Schnittverhalten von ${}V$ mit beliebigen Geraden.
5. Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes ${}K[X,Y,Z]/(XYZ)$ für die Argumente  ${}n\leq 4$. 
6. Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes ${}K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XYZ)$?