Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 19
Man gebe für die Ringe der zweidimensionalen ADE-Singularitäten jeweils eine Primidealkette der Länge an.
Man gebe für den Ring eine Primidealkette der Länge an.
![{\displaystyle {}K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c680f891b8b55133d159295458a35dfa2895a176)
Es sei ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension . Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings mindestens ist.
![{\displaystyle {}R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7ee29b3b3d6eeb3b39f218ba987877e85928bd)
Betrachte . Die Nullstellenmenge besteht aus dem einzigen Punkt , durch die eine Gleichung geht also die Dimension von auf runter. Warum widerspricht das nicht dem Krullschen Hauptidealsatz?
![{\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}\in \mathbb {R} [X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dc2a01eecbda52b0e73dd830f52a566b050f0f)
Es sei ein Körper und ein Punktideal im Polynomring. Zeige, dass die Höhe von gleich ist.
![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad76ab6d2c5d9b63e110c27ad83513c2ee5090b)
Es sei ein Körper und ein maximales Ideal im Polynomring. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung und ein Punktideal
![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9952c9e9e4f79f70c7ba576107136a68d460f6)
![{\displaystyle {}{\mathfrak {n}}={\left(X_{1}-b_{1},\ldots ,X_{n}-b_{n}\right)}\subset L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeefd9b080c9a0a2f2962c15382d3db90a702706)
derart gibt, dass
![{\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36dadf68a3f67d17df57b617c26c6e916e97527)
ist.
![{\displaystyle {}K[x,y]\subseteq K[x,y,z]/{\left(xy-z^{n}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9da6f39368ce8587749c266efb38848bb3591b5)
![{\displaystyle {}K[x,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3adebe6e770b3d117b8ba7c482088b5f2f44f0)
![{\displaystyle {}K[y,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9209aa8dfeb3d5d1d15e9357c2b558122e77dc91)
![{\displaystyle {}K[y,z]\subseteq K[x,y,z]/{\left(x^{2}+yz^{2}+z^{m+1}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9467f646e474211ecff6b97b90cf6f5edbb2042)
![{\displaystyle {}K[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554fe5c71bbf12cfeb79317bef5eecc1c1d85c31)
Es sei eine endliche Ringerweiterung und ein Nichtnullteiler. Zeige, dass nicht das Nullideal ist.
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine endliche Ringerweiterung ist und dass die Restklasse nicht ist, dass aber das Nullideal ist.
![{\displaystyle {}R\subseteq R[X]/{\left(X^{2}\right)}=:S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009923a26c487bcc803f1e693b3d90e6db841c93)
![{\displaystyle {}[X]\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef043191615dfc8e657b3a3ec93dfd6fb256382)
![{\displaystyle {}R\cap ([X])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92987d6039a0e152f475581a313db0189d14c327)
![{\displaystyle {}K[X+Y]\subseteq K[X,Y]/{\left(XY\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5d5734ea1839caebde2d95bb1fd9dccc78cad5)
- Zeige, dass
endlich ist.
- Zeige, dass und algebraisch unabhängige Elemente in sind.
- Bestimme für die beiden minimalen Primideale und die Durchschnitte mit .
![{\displaystyle {}K[X+Y,Z]\subseteq K[X,Y,Z]/(XY,XZ)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cdc2a25230352248d168013fb1fd2d05c7b5ab)
![{\displaystyle {}K[X,Y,Z]/(XY,XZ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91e6a1d5a2d97046e02a0d4b56b011f1662b64c)
![{\displaystyle {}K[X+Y,Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6214f99b677e55b1435303529d78ab020c6360)
Zeige durch ein Beispiel, dass Korollar 19.8 nicht gilt, wenn man beliebige Nenneraufnahmen erlaubt.
Zeige durch ein Beispiel, dass Korollar 19.8 nicht gilt, wenn man Algebren betrachten, die nicht vom endlichen Typ sind.
Es sei ein noetherscher lokaler Ring und ein endlich erzeugter - Modul der Dimension . Zeige, dass der Limes
existiert und mit der Hilbert-Samuel-Multiplizität von übereinstimmt.
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