Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 19

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Dimension von endlich erzeugte Algebren



Satz  

Der Polynomring über einem Körper

besitzt die Krulldimension .

Jedes maximale Ideal des Polynomringes besitzt die Höhe .

Beweis  

Sei zunächst . Dann zeigt einerseits die Primidealkette

dass die Höhe von zumindest ist. Da das Ideal Erzeuger besitzt, folgt andererseits aus Satz 18.7, dass die Höhe von höchstens gleich ist. Die Höhe ist also genau .

Wenn ein maximales Ideal der Form

(also ein Punktideal) mit vorliegt, so zeigt die gleiche Argumentation, dass seine Höhe gleich ist (oder man arbeitet mit einem -Algebraautomorphismus von , der in überführt.). Wenn algebraisch abgeschlossen ist, so sind wir nach Satz Anhang 2.6 fertig.

Wenn ein beliebiger Körper ist, so gibt es eine ganze Körpererweiterung mit algebraisch abgeschlossen. Die Erweiterung

ist ebenfalls ganz. Sei ein maximales Ideal. Dazu gibt es nach Lemma Anhang 12.2 und Lemma Anhang 12.5 ein maximales Punktideal

das auf runterschneidet. Eine Primidealkette unterhalb von der Länge schneidet auf eine Primidealkette unterhalb von runter, so dass die Höhe von zumindest ist. Umgekehrt gibt es zu einer Primidealkette unterhalb von nach Lemma Anhang 12.1 eine darüberliegende Primidealkette in . Da eine solche maximal die Länge besitzt, ist die Höhe von gleich .

Ohne Beweis erwähnen wir den folgenden Satz.


Satz

Es sei ein noetherscher Ring der Dimension .

Dann besitzt der Polynomring die Dimension .



Satz  

Es sei ein Polynom über einem Körper .

Dann besitzt der Restklassenring die Dimension .

Beweis  

Nach Satz Anhang 13.1 gibt es eine endliche Erweiterung

Nach Satz Anhang 12.6 stimmen die Dimensionen der beiden Ringe überein. Also hat der Hyperflächenring die gleiche Dimension wie der Polynomring in Variablen, die nach Satz 19.1 gleich ist.




Satz  

Es sei eine integre -Algebra vom endlichen Typ über einem Körper .

Dann besitzt jede maximale Primidealkette in die gleiche Länge.

Beweis  

Es sei die Dimension von , wir führen Induktion über . Bei ist die Aussage klar. Zum Induktionsschluss sei

eine maximale Primidealkette in . Nach Satz Anhang 13.2 gibt es eine endliche Erweiterung

Wir betrachten

Nach Aufgabe 19.9 ist nicht das Nullideal. Würde es ein Primideal

geben, so würde es dazu nach Satz Anhang 12.7 eine Primidealkette

geben, die darüber liegt, und dann wäre die Kette nicht maximal. Das bedeutet, dass die Höhe besitzt. Da der Polynomring faktoriell ist, ist

ein Primhauptideal und somit ist nach Satz 19.3 die Dimension von gleich . Da die induzierte Abbildung

ebenfalls endlich und injektiv ist, folgt nach Satz Anhang 12.6, dass die Dimension von gleich ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt jede maximale Primidealkette in die Länge . Unsere Primidealkette induziert (startend mit ) eine maximale Primidealkette in , also ist

und daher .


Non cohen macaulay scheme thumb.png

In der vorstehenden Aussage ist die Voraussetzung der Integrität notwendig, wie jedes Beispiel zeigt, in dem die maximalen Komponenten nicht die gleiche Dimension haben. Aber auch die Voraussetzung, dass die Algebra vom endlichen Typ ist, ist entscheidend.


Beispiel  

Wir betrachten den Polynomring über einem Körper mit dem maximalen Ideal und dem Primideal , das nicht in liegt. Wir betrachten das multiplikative System

In der Nenneraufnahme sind die Primideale und die einzigen maximalen Ideale, das eine hat die Höhe und das andere die Höhe . Die Aussage Satz 19.4 gilt also nicht für integre Algebre, die im Wesentlichen vom endlichen Typ sind.




Korollar  

Es sei eine integre -Algebra vom endlichen Typ über einem Körper und sei ein Primideal.

Dann ist

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 19.4.

Die folgende Aussage setzt die Dimension einer integren Algebra vom endlichen Typ in Beziehung zum Transzendengrad des zugehörigen Quotientenkörpers. Für den Begriff Transzendenzgrad und seine wichtigsten Eigenschaften siehe die Vorlesung zur Galoistheorie.



Satz  

Es sei eine integre -Algebra vom endlichen Typ über einem Körper mit dem Quotientenkörper .

Dann stimmt die Dimension von mit dem Transzendenzgrad von über überein.

Beweis  

Nach Satz Anhang 13.2 gibt es algebraisch unabhängige Elemente derart, dass

endlich ist. Dann ist auch die Körpererweiterung der Quotientenkörper

endlich. Also ist nach Definition der Transzendenzgrad.




Korollar  

Es sei eine integre -Algebra vom endlichen Typ über einem Körper und ein von verschiedenes Element.

Dann stimmt die Dimension der Nenneraufnahme mit der Dimension von überein.

Beweis  

Der Quotientenkörper von stimmt mit dem Quotientenkörper von überein. Da mit auch von endlichem Typ über ist, folgt die Aussage aus Satz 19.7.




Der Grad des Hilbert-Samuel Polynoms

Definition  

Zu einem -Modul versteht man unter der Krulldimension von die Krulldimension von .


Satz

Es sei ein noetherscher lokaler Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann besteht zwischen der Dimension des Moduls und dem Grad des Hilbert-Samuel-Polynoms der Zusammenhang


<< | Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)