Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 18/latex

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\setcounter{section}{18}






\zwischenueberschrift{Zahlbereiche}

Wir werden uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den ganzen Abschluss von $\Z$ in einem endlichen \definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{} der rationalen Zahlen $\Q$ interessieren.




\inputdefinition
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Dann nennt man den \definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{} von $\Z$ in $L$ den \definitionswort {Ring der ganzen Zahlen}{} in $L$. Solche Ringe nennt man auch \definitionswort {Zahlbereiche}{.}

}

Den endlichen Erweiterungskörper $L$ von $\Q$ nennt man übrigens einen \stichwort {Zahlkörper} {.} Diese Zahlbereiche sind der Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. Wir interessieren uns in der algebraischen Zahlentheorie insbesondere für folgende Fragen.

\aufzaehlungdrei{Wann ist ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ ein Hauptidealbereich und wann ist er faktoriell? }{Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen \zusatzklammer {Ja: Lokal und auf Idealebene} {} {.} }{Wenn $R$ kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? \zusatzklammer {Ja: Durch die sogenannte Klassengruppe} {} {.}}






\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Ganzheitsring/Normal/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Lemma 17.15 ist $L$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings $R$. Ist
\mathl{q \in Q(R)=L}{} ganz über $R$, so ist $q$ nach Aufgabe 17.20 auch ganz über $\Z$ und gehört selbst zu $R$.

}


Ein Ganzheitsring ist im Allgemeinen nicht faktoriell.

\inputfaktbeweis
{Ganzheitsring/Normal/Quotientenkörper/Ganz/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Unterring}
\faktvoraussetzung {mit den folgenden Eigenschaften: \aufzaehlungdrei{$R$ ist \definitionsverweis {ganz}{}{} über $\Z$. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(R) }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{$R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ der \definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{} von $L$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 18.1. }





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{ \Q[\sqrt{-3}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der die Ringe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z[\sqrt{-3}] = A }
{ \subseteq} { \Z[ \omega] = B }
{ \subseteq} { \Q[\sqrt{-3}] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} enthält, wobei $\omega = -\frac{1}{2} +\frac{\mathrm i}2\sqrt3$ ist, d.h.
\mathl{\Z[\omega]}{} ist der Ring der \definitionsverweis {Eisenstein-Zahlen}{}{.} Der Quotientenkörper von beiden Ringen ist $\Q[\sqrt{-3}]$. Das Element $\omega$ erfüllt die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\omega^2 + \omega +1 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und somit ist
\mathl{\Z[\omega]}{} ganz über $\Z$. Ferner ist $\Z[\omega]$ \definitionsverweis {normal}{}{.} Dies ergibt sich aus Satz 2.15, Satz 2.16, Satz 3.7 und Satz 17.12. Nach Lemma 18.3 ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in $\Z[\omega]$.


}





\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann enthält jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Zahl
\mathl{m \in \Z}{} mit
\mathl{m \neq 0}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mathl{0 \neq f \in {\mathfrak a}}{.} Dieses Element ist nach der Definition eines \definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{} \definitionsverweis {ganz}{}{} über $\Z$ und erfüllt demnach eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n+ k_{n-1}f^{n-1} + k_{n-2}f^{n-2} + \cdots + k_1f +k_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit ganzen Zahlen $k_i$. Bei
\mathl{k_0=0}{} kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da
\mathl{f \neq 0}{} ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Sei also in obiger Gleichung
\mathl{k_0 \neq 0}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( f^{n-1}+ k_{n-1}f^{n-2} + k_{n-2}f^{n-3} + \cdots + k_1 \right) } }
{ =} {-k_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0 }
{ \in }{ (f) \cap \Z }
{ \subseteq }{{\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt}
{Satz}
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathl{f \in Q(R)=L}{.} Dann ist $f$ genau dann \definitionsverweis {ganz}{}{} über $\Z$, wenn die Koeffizienten des \definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{} von $f$ über $\Q$ alle ganzzahlig sind.

}
{

Das Minimalpolynom $P$ von $f$ über $\mathbb Q$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus $\mathbb Q$. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} für $f$ über $\Z$ vor.

Sei umgekehrt $f$ ganz über $\Z$, und sei
\mathl{S \in \Z[X]}{} ein normiertes ganzzahliges Polynom mit
\mathl{S(f)=0}{,} das wir als irreduzibel in
\mathl{\Z[X]}{} annehmen dürfen. Wir betrachten
\mathl{S \in \Q[X]}{.} Dort gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { PT }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da nach dem Lemma von Gauß ein irreduzibles Polynom von
\mathl{\Z[X]}{} auch in
\mathl{{\mathbb Q}[X]}{} irreduzibel ist, folgt
\mathl{S=P}{} und daher sind alle Koeffizienten von $P$ ganzzahlig.

}


Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu $\Z$ gehören.






\zwischenueberschrift{Gruppenstruktur von Idealen}

In
\mathl{\Z[ \mathrm i ]}{} ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b \mathrm i ) }
{ =} { { \left\{ m (a+b \mathrm i ) + n {\mathrm i} ( a+b \mathrm i) \mid m,n \in \Z \right\} } }
{ \cong} { \Z^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt} {} {.} Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir jetzt beweisen werden.





\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Ideale ungleich null enthält Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Sei
\mathl{\Q \subseteq L}{} eine endliche \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ und $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Dann enthält ${\mathfrak a}$ Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{,} die eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ sind.

}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine $\Q$-Basis von $L$. Das Ideal ${\mathfrak a}$ enthält nach Lemma 18.5 ein Element
\mathl{0 \neq m \in {\mathfrak a} \cap \Z}{.} Nach \zusatzklammer {dem Beweis von} {} {} Lemma 17.15 kann man
\mathl{v_i = \frac{r_i}{n_i}}{} schreiben mit
\mathl{r_i \in R}{} und
\mathl{n_i \in \Z \setminus \{0\}}{.} Dann sind die
\mathl{m (n_i v_i) \in {\mathfrak a}}{} und bilden ebenfalls eine $\Q$-Basis von $L$.

}






\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mathl{\Q \subseteq L}{} eine endliche \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ und $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$.}
\faktvoraussetzung {Seien
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in {\mathfrak a}}{} Elemente, die eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ bilden und für die der Betrag der \definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathdisp {\betrag { \triangle(b_1 , \ldots , b_n) }} { }
unter all diesen Basen aus ${\mathfrak a}$ minimal sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich $f$ als eine $\Z$-Linearkombination
\mathl{f=k_1b_1 + \cdots + k_nb_n}{} mit
\mathl{k_i \in \Z}{} schreiben lässt, wenn die
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in {\mathfrak a}}{} eine $\Q$-Basis von $L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {q_1b_1 + \cdots + q_nb_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit rationalen Zahlen
\mathl{q_i \in \Q}{.} Sei angenommen, dass ein $q_i$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir
\mathl{i=1}{} annehmen dürfen. Wir schreiben dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q_1 }
{ = }{k + \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{k \in \Z}{} und einer rationalen Zahl $\delta$ \zusatzklammer {echt} {} {} zwischen $0$ und $1$. Dann ist auch
\mathdisp {c_1=f-kb_1 = \delta b_1 + \sum_{i=2}^n q_ib_i,\, b_2 , \ldots , b_n} { }
eine $\Q$-Basis von $L$, die in ${\mathfrak a}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { \begin{pmatrix} \delta & q_2 & q_3 & \cdots & q_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 &0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach Lemma 16.2 gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (c_1,b_2 , \ldots , b_n) }
{ =} {(\det(T))^2 \triangle (b_1,b_2 , \ldots , b_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\det(T))^2 }
{ = }{\delta ^2 }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht $0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminanten.

}






\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mathl{\Q \subseteq L}{} eine endliche \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ und $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak a}$ eine \definitionsverweis {freie abelsche Gruppe vom Rang}{}{} $n$,}
\faktzusatz {d.h. es gibt Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in {\mathfrak a}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${\mathfrak a}$ eindeutig bestimmt sind.}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Lemma 18.7 gibt es überhaupt Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in {\mathfrak a}}{,} die eine $\Q$-Basis von $L$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der \zusatzklammer {ganzzahlige} {} {} Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Satz 18.8, dass sie ein $\Z$-Erzeugendensystem von ${\mathfrak a}$ bilden. Die \definitionsverweis {lineare Unabhängigkeit}{}{} über $\Q$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.

}






\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mathl{\Q \subseteq L}{} eine endliche \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ und $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ eine \definitionsverweis {freie abelsche Gruppe vom Rang}{}{} $n$,}
\faktzusatz {d.h. es gibt Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in R}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Korollar 18.9, angewendet auf das Ideal
\mathl{\mathfrak a = R}{.}

}


Ein solches System von Erzeugern
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} nennt man auch eine \stichwort {Ganzheitsbasis} {} von $R$.





\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt}
{Korollar}
{}
{

Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq} { L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ und $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Es sei
\mathl{m \in \Z}{.} Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(m) }
{ \cong} { ( \Z/(m) )^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für eine Primzahl
\mathl{m=p}{} ist
\mathl{R/(m)}{} eine Algebra der Dimension $n$ über dem Körper
\mathl{\Z/(p)}{.} Zu jeder Primzahl $p$ gibt es Primideale $\mathfrak p$ in $R$ mit
\mathl{\mathfrak p \cap \Z=(p)}{.}

}
{

Nach Korollar 18.10 ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \cong }{\Z^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {als abelsche Gruppen} {} {,} wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} entsprechen möge. Das von $m$ in $R$ erzeugte Ideal besteht aus allen $\Z$-Linearkombinationen der
\mathl{m a_1 , \ldots , m a_n}{} und somit entspricht das Ideal \zusatzklammer {unter dieser Identifizierung} {} {} der von
\mathl{(m,0 , \ldots , 0), (0,m,0 , \ldots , 0) , \ldots , (0 , \ldots , 0,m)}{} erzeugten Untergruppe von $\Z^n$. Die Restklassengruppe
\mathl{R/(m)}{} ist demnach gleich
\mathl{(\Z/(m))^n}{} und besitzt $m^n$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach Aufgabe 17.18
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m R \cap \Z }
{ = }{ m \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und aufgrund des Homomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus \maabbdisp {} {\Z/(m) } { R/(m) } {,} so dass
\mathl{R/(m)}{} eine von $0$ verschiedene
\mathl{\Z/(m)}{-}Algebra ist.

Für eine Primzahl $p$ ist
\mathl{R/(p)}{} ein Vektorraum über
\mathl{\Z/(p)}{} der Dimension $n$. Deshalb gibt es darin \zusatzklammer {mindestens} {} {} ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe 9.15 einem maximalen Ideal ${\mathfrak m}$ in $R$ mit
\mathl{p \in {\mathfrak m}}{.} Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p) }
{ = }{ (p)R \cap \Z }
{ \subseteq }{ {\mathfrak m} \cap \Z }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich $(p)$.

}







\zwischenueberschrift{Noethersche Ringe und Dedekind-Bereiche}




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Noether.eps} }
\end{center}
\bildtext {Emmy Noether (1882-1935)} }

\bildlizenz { Noether.jpg } {} {Anarkman} {PD} {} {http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/course/c_energy/energyl/lec001.html}





\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {noethersch}{,} wenn jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} darin \definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.

}





\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Sind noethersch/Fakt}
{Korollar}
{}
{

Jeder \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {noetherscher Ring}{}{.}

}
{

Nach Korollar 18.9 ist jedes von $0$ verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu $\Z^n$, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale \zusatzklammer {also als $R$-Moduln} {} {} endlich erzeugt.

}






\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Restklassenring/Endlich/Fakt}
{Satz}
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Dann ist jeder echte \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} von $R$ endlich.

}
{

Nach Lemma 18.5 gibt es ein
\mathl{m \in \Z \cap {\mathfrak a}}{,}
\mathl{m \neq 0}{.} Damit ist
\mathl{mR \subseteq \mathfrak a}{} und damit hat man eine surjektive Abbildung \maabbdisp {} { R/(m) } { R/{\mathfrak a} } {.} Der Ring links ist nach Korollar 18.11 endlich \zusatzklammer {mit $m^n$ Elementen} {} {,} also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.

}






\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt}
{Satz}
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Dann ist jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} von $R$ bereits ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}

}
{

Sei ${\mathfrak p}$ ein Primideal $\neq 0$ in $R$. Dann ist der Restklassenring $R/ {\mathfrak p}$ nach Lemma 16.13 ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und nach Satz 18.14 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe 9.5 bereits ein Körper, so dass nach Lemma 16.15 ein maximales Ideal vorliegt.

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Dedekind.eps} }
\end{center}
\bildtext {Richard Dedekind (1831-1916)} }

\bildlizenz { Dedekind.jpeg } {Jean-Luc W} {} {Commons} {PD} {http://dbeveridge.web.wesleyan.edu/wescourses/2001f/chem160}


Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.


\inputdefinition
{}
{

Einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ nennt man einen \definitionswort {Dedekindbereich}{,} wenn er \definitionsverweis {noethersch}{}{} und \definitionsverweis {normal}{}{} ist und wenn jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} darin \definitionsverweis {maximal}{}{} ist.

}

Die Eigenschaft, dass jedes von $0$ verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \subset }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzen \zusatzklammer {wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal $0$} {} {.} Man sagt auch, dass die \stichwort {Krulldimension} {} des Ringes gleich $1$ ist.





\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Sind Dedekindbereiche/Fakt}
{Korollar}
{}
{

Jeder \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.}

}
{

Dies folgt aus Satz 18.2, aus Korollar 18.13 und aus Satz 18.15.

}



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