Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $ℚ \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei $R \subseteq L$ ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:

$R$ ist ganz über $ℤ$ .
Es ist $Q (R) = L$ .
$R$ ist normal.

Dann ist $R$ der Ring der ganzen Zahlen von $L$ .

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und

S = R [X_{1}, \dots, X_{n}] / 𝔞

eine (als Algebra) endlich erzeugte $R$ -Algebra, die ganz über $R$ sei. Zeige, dass $S$ ein endlich erzeugter $R$ -Modul ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und es sei $R \subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen. Es sei $S$ ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass $S$ ebenfalls ein Zahlbereich ist.

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f \in R$ . Zeige, dass $N (f) \in (f)$ ist, dass also die Norm zum von $f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f \in R$ . Zeige, dass die Spur und die Norm von $f$ ganzzahlig sind.

In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:

Ein Polynom $F \in ℤ [X]$ heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von $F$ teilerfremd sind.

Aufgabe

Es sei $F \in ℤ [X]$ ein Polynom. Zeige, dass man $F$ als $F = n \tilde{F}$ mit $n \in ℕ$ und primitivem $\tilde{F}$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei $F \in ℤ [X]$ ein irreduzibles Polynom. Dann ist $F$ , aufgefasst als Polynom in $ℚ [X]$ , ebenfalls irreduzibel.

Aufgabe

Es seien $F, G \in ℤ [X]$ primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt $F G$ primitiv ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Zahlbereich und $ℤ \subseteq R$ die zugehörige Erweiterung. Zu einer Primzahl $p$ sei

p = q_{1}^{r_{1}} \dots q_{k}^{r_{k}}

die Primfaktorzerlegung von $p$ in $R$ (die $q_{i}$ seien also paarweise nicht assoziiert). Zeige, dass die Primideale $𝔭$ von $R$ mit der Eigenschaft $𝔭 \cap ℤ = (p)$ genau die Primideale der Form $𝔭 = (q_{i})$ sind.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f_{1}, \dots, f_{n} \in R$ eine $ℤ$ -Basis von $R$ . Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

| Δ (f_{1}, \dots, f_{n}) |

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen $n$ -Tupeln aus $R$ .

Aufgabe

Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene $ℤ$ -Basen von $ℤ [i]$ an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring $\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring $R / 𝔞$ noethersch ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei

K [X_{n}, n \in ℕ]

der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen.

Zu zwei Idealen $𝔞$ und $𝔟$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

𝔞 𝔟 = {a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{k} b_{k} ∣ a_{i} \in 𝔞, b_{i} \in 𝔟}

definiert.

Für das $n$ -fache Produkt eines Ideals $𝔞$ mit sich selbst schreibt man $𝔞^{n}$ .

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es seien $𝔞, 𝔟 \subseteq R$ Ideale in einem kommutativen Ring $R$ . Zeige, dass die Beziehung

𝔞 \cdot 𝔟 \subseteq 𝔞 \cap 𝔟

gilt.

Aufgabe

Es sei $𝔞 \subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ . Zeige, dass die Potenzen $𝔞^{n}, n \in ℕ_{+}$ , alle dasselbe Radikal besitzen.

Aufgabe *

Es seien $I$ und $J$ Ideale in einem kommutativen Ring $R$ und sei $n \in ℕ$ . Zeige die Gleichheit

(I + J)^{n} = I^{n} + I^{n - 1} J + I^{n - 2} J^{2} + \dots + I^{2} J^{n - 2} + I J^{n - 1} + J^{n} .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R = ℤ [X] / (X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1)$ . Bestimme die Primideale in $R$ , die über den Primzahlen $p = 2, 3, 5, 7$ liegen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl. Wir betrachten die endliche Körpererweiterung

ℚ \subseteq L = ℚ [X] / (X^{3} - p)

vom Grad $3$ . Es sei $f = a X^{2} + b X + c \in L$ ein Element davon mit $a, b, c \in ℚ$ . Berechne das Minimalpolynom von $f$ und gib die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von $f$ .

Welche Bedingungen an $a, b, c$ ergeben sich aus der Voraussetzung, dass $f$ ganz über $ℤ$ ist?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und seien $𝔭$ und $𝔮$ verschiedene Primideale $\neq 0$ . Dann gibt es einen Ringisomorphismus

R / 𝔭 \cap 𝔮 ⟶ R / 𝔭 \times R / 𝔮 .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und seien $𝔭$ und $𝔮$ zwei verschiedene Primideale. Dann ist

𝔭 \cap 𝔮 = 𝔭 \cdot 𝔮 .

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Ein kommutativer Ring $R$ ist genau dann noethersch, wenn es in $R$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

𝔞_{1} \subset 𝔞_{2} \subset 𝔞_{3} \subset \dots

gibt.

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