Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 18

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und es sei ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:

  1. ist ganz über .
  2. Es ist .
  3. ist normal.

Dann ist der Ring der ganzen Zahlen von .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und

eine (als Algebra) endlich erzeugte -Algebra, die ganz über sei. Zeige, dass ein endlich erzeugter -Modul ist.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und es sei eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen. Es sei ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass ebenfalls ein Zahlbereich ist.


Aufgabe

Sei ein Zahlbereich und sei . Zeige, dass ist, dass also die Norm zum von erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.


In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:


Ein Polynom heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von teilerfremd sind.


Aufgabe

Sei ein Polynom. Zeige, dass man schreiben kann als mit und primitivem .


Aufgabe

Sei ein irreduzibles Polynom. Dann ist , aufgefasst als Polynom in , ebenfalls irreduzibel.


Aufgabe

Seien primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt primitiv ist.


Aufgabe

Es sei ein faktorieller Zahlbereich und die zugehörige Erweiterung. Zu einer Primzahl sei

die Primfaktorzerlegung von in (die seien also paarweise nicht assoziiert). Zeige, dass die Primideale von mit der Eigenschaft genau die Primideale der Form sind.


Aufgabe

Sei ein Zahlbereich und sei eine -Basis von . Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen -Tupeln aus .


Aufgabe

Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Man gebe zwei wesentlich verschiedene -Basen von an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.


Aufgabe *

Sei ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring noethersch ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei

der Polynomring über in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.


Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen.


Zu zwei Idealen und in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

mit , definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten (mit , ) erzeugt wird.


Für das -fache Produkt eines Ideals mit sich selbst schreibt man .

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.


Aufgabe

Es seien Ideale in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Potenzen , alle dasselbe Radikal besitzen.


Aufgabe *

Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Sei . Bestimme die Primideale in , die über den Primzahlen liegen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl und betrachte die Körpererweiterung

vom Grad . Sei ein Element davon mit . Berechne das Minimalpolynom von und gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von .

Welche Bedingungen an ergeben sich aus der Voraussetzung, dass ganz über ist?


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Dedekindbereich und seien und verschiedene Primideale . Dann gibt es einen Ringisomorphismus


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Dedekindbereich und seien und zwei verschiedene Primideale. Dann ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Ein kommutativer Ring ist noethersch genau dann, wenn es in keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

gibt.



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